Действительные числа

Действительные числа — это множество чисел, объединяющее рациональные и иррациональные числа. Они используются для измерений, подсчётов и описания величин. Действительные числа обозначаются символом $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$.

Множества, входящие в состав действительных чисел

1. Рациональные числа ($\mathbb{Q}\backslash mathbb\{Q\}$):

   • Числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}\backslash frac\{p\}\{q\}$, где $pp$ и $qq$ — целые числа, $q\mathrm{\ne }0q\; \backslash neq\; 0$.
   • Примеры: $-\frac{3}{4},0.5,2,-1.25-\backslash frac\{3\}\{4\},\; 0.5,\; 2,\; -1.25$.
   • Их десятичные представления конечны или периодичны.

2. Иррациональные числа:

   • Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}\backslash frac\{p\}\{q\}$.
   • Примеры: $\sqrt{2},\pi ,e\backslash sqrt\{2\},\; \backslash pi,\; e$.
   • Их десятичные представления бесконечны и непериодичны.

Геометрическая интерпретация

Действительные числа заполняют числовую прямую, называемую действительной осью. Каждое число на этой оси соответствует точке, и наоборот, каждая точка соответствует определённому числу.

Основные свойства действительных чисел

1. Линейный порядок: Для любых действительных чисел $aa$ и $bb$ справедливо одно из трёх утверждений:

2. Непрерывность: На числовой прямой между любыми двумя различными действительными числами всегда существует бесконечное множество других чисел.

3. Плотность множества рациональных и иррациональных чисел:

   • Между любыми двумя действительными числами существует как минимум одно рациональное число.
   • Между любыми двумя действительными числами существует как минимум одно иррациональное число.

4. Модуль числа: Модуль числа $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }|a|$ равен расстоянию от числа $aa$ до нуля на числовой прямой:

5. Операции над числами:

   • Сложение: $a+b\in \mathbb{R}a\; +\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Вычитание: $a-b\in \mathbb{R}a\; -\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Умножение: $a\cdot b\in \mathbb{R}a\; \backslash cdot\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
   • Деление: $\frac{a}{b}\in \mathbb{R}\backslash frac\{a\}\{b\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$, если $b\mathrm{\ne }0b\; \backslash neq\; 0$.

Типы представлений действительных чисел

1. Десятичное представление: Действительные числа могут быть представлены в виде десятичных дробей:

   • Конечные: $2.5,-0.752.5,\; -0.75$.
   • Бесконечные периодические: $0.3333\dots =\frac{1}{3}0.3333\backslash ldots\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$.
   • Бесконечные непериодические: $\pi =3.14159\dots \backslash pi\; =\; 3.14159\backslash ldots$.

2. Алгебраические и трансцендентные числа:

   • Алгебраические числа — это корни многочленов с рациональными коэффициентами (например, $\sqrt{2},-\frac{3}{4}\backslash sqrt\{2\},\; -\backslash frac\{3\}\{4\}$).
   • Трансцендентные числа — это числа, которые не являются корнями таких многочленов (например, $\pi ,e\backslash pi,\; e$).

Примеры

Пример 1: Проверить принадлежность чисел к $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$

Проверим, являются ли числа $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$, $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ и $\pi \backslash pi$ действительными.

Решение:

• $\frac{3}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}$ — рациональное, значит, $\in \mathbb{R}\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
• $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ — иррациональное, значит, $\in \mathbb{R}\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.
• $\pi \backslash pi$ — иррациональное, значит, $\in \mathbb{R}\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$.

Ответ: Все числа принадлежат $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$.

Пример 2: Найти модуль числа

Найдите модуль числа $-7.3-7.3$.

Решение: По определению модуля:

Ответ: $7.37.3$.

Пример 3: Доказать плотность рациональных чисел

Между числами $11$ и $22$ найдите хотя бы одно рациональное число.

Решение: Рассмотрим число $\frac{3}{2}=1.5\backslash frac\{3\}\{2\}\; =\; 1.5$, которое является рациональным и лежит между $11$ и $22$.

Ответ: $\frac{3}{2}\backslash frac\{3\}\{2\}$ — рациональное число между $11$ и $22$.

Задачи для закрепления

1. Проверьте, является ли число $0.121212\dots 0.121212\backslash ldots$ действительным.
2. Найдите модуль числа $-5.8-5.8$.
3. Приведите пример рационального числа между $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ и $22$.
4. Докажите, что $\pi \backslash pi$ является действительным числом.

Заключение

Действительные числа — это основа математического анализа, они включают в себя множество рациональных и иррациональных чисел. Знание их свойств и представлений позволяет проводить вычисления, решать уравнения и строить графики функций.