Комплексные числа

Комплексное число — это число вида $z=a+biz\; =\; a\; +\; bi$, где: $aa$ — действительная часть числа, $bb$ — мнимая часть числа, $ii$ — мнимая единица, такая что $i^2=-1i^2\; =\; -1$.

Пример: $z=3+4iz\; =\; 3\; +\; 4i$.

Основные понятия

1. Действительная часть ($\text{Re}(z)\backslash text\{Re\}(z)$):
   Действительное число $aa$ из записи $z=a+biz\; =\; a\; +\; bi$.

2. Мнимая часть ($\text{Im}(z)\backslash text\{Im\}(z)$):
   Действительное число $bb$ из записи $z=a+biz\; =\; a\; +\; bi$.

3. Комплексное сопряжение ($\bar{z}\backslash overline\{z\}$):
   Если $z=a+biz\; =\; a\; +\; bi$, то $\bar{z}=a-bi\backslash overline\{z\}\; =\; a\; -\; bi$.

4. Модуль комплексного числа ($\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }|z|$):
   Длина вектора, соответствующего комплексному числу, вычисляется по формуле:

   $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{.}|z|\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}.$

5. Аргумент комплексного числа ($\arg (z)\backslash arg(z)$):
   Угол $\phi \backslash varphi$ между вектором $zz$ и положительным направлением оси $OxOx$, измеряется в радианах.

Формы записи комплексного числа

1. Алгебраическая форма:

   $z=a+bi\mathrm{.}z\; =\; a\; +\; bi.$

2. Тригонометрическая форма:

   $z=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\cdot (\cos \phi +i\sin \phi ),z\; =\; |z|\; \backslash cdot\; (\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi),$

   где $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }|z|$ — модуль, $\phi \backslash varphi$ — аргумент.

3. Показательная форма (формула Эйлера):

   $z=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\cdot e^{i\phi }\mathrm{.}z\; =\; |z|\; \backslash cdot\; e^\{i\backslash varphi\}.$

Действия с комплексными числами

1. Сложение и вычитание:

   $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a\; +\; bi)\; +\; (c\; +\; di)\; =\; (a\; +\; c)\; +\; (b\; +\; d)i,$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\mathrm{.}(a\; +\; bi)\; -\; (c\; +\; di)\; =\; (a\; -\; c)\; +\; (b\; -\; d)i.$

2. Умножение:

   $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\mathrm{.}(a\; +\; bi)(c\; +\; di)\; =\; (ac\; -\; bd)\; +\; (ad\; +\; bc)i.$

3. Деление:
   Чтобы разделить $z_1=a+biz\_1\; =\; a\; +\; bi$ на $z_2=c+diz\_2\; =\; c\; +\; di$, умножим числитель и знаменатель на $\overline{z_2}\backslash overline\{z\_2\}$:

   $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\mathrm{.}\backslash frac\{z\_1\}\{z\_2\}\; =\; \backslash frac\{(a\; +\; bi)(c\; -\; di)\}\{c^2\; +\; d^2\}.$

4. Возведение в степень (формула Муавра):
   Если $z=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )z\; =\; |z|\; \backslash cdot\; (\backslash cos\; \backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; \backslash varphi)$, то:

   $z^n=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^n\cdot (\cos n\phi +i\sin n\phi )\mathrm{.}z^n\; =\; |z|^n\; \backslash cdot\; (\backslash cos\; n\backslash varphi\; +\; i\; \backslash sin\; n\backslash varphi).$

5. Извлечение корня:
   Для нахождения $nn$-го корня из $zz$ используем формулу:

   $z_k=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^{1\mathrm{/}n}\cdot (\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n}),z\_k\; =\; |z|^\{1/n\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\backslash cos\backslash frac\{\backslash varphi\; +\; 2k\backslash pi\}\{n\}\; +\; i\; \backslash sin\backslash frac\{\backslash varphi\; +\; 2k\backslash pi\}\{n\}\backslash right),$

   где $k=0,1,\dots ,n-1k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash dots,\; n-1$.

Геометрическая интерпретация

1. Комплексное число на комплексной плоскости изображается вектором с координатами $(a,b)(a,\; b)$.
2. Модуль числа $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }|z|$ соответствует длине вектора.
3. Аргумент числа $\arg (z)\backslash arg(z)$ — угол между вектором и положительным направлением оси $OxOx$.

Примеры

Пример 1: Найти модуль и аргумент числа $z=3+4iz\; =\; 3\; +\; 4i$.

Решение:

1. Модуль:$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5.|z|\; =\; \backslash sqrt\{3^2\; +\; 4^2\}\; =\; \backslash sqrt\{9\; +\; 16\}\; =\; 5.$
2. Аргумент:$\tan \phi =\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}=\frac{4}{3}\mathrm{.}\backslash tan\; \backslash varphi\; =\; \backslash frac\{\backslash text\{Im\}(z)\}\{\backslash text\{Re\}(z)\}\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\}.$Используя арктангенс, $\phi \approx 53.13^{\circ }\backslash varphi\; \backslash approx\; 53.13^\backslash circ$.

Ответ: $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=5|z|\; =\; 5$, $\arg (z)\approx 53.13^{\circ }\backslash arg(z)\; \backslash approx\; 53.13^\backslash circ$.

Пример 2: Сложение комплексных чисел

Сложим $z_1=2+3iz\_1\; =\; 2\; +\; 3i$ и $z_2=4-iz\_2\; =\; 4\; -\; i$.

Решение:

Ответ: $z=6+2iz\; =\; 6\; +\; 2i$.

Пример 3: Умножение комплексных чисел

Найдём произведение $z_1=1+iz\_1\; =\; 1\; +\; i$ и $z_2=2-iz\_2\; =\; 2\; -\; i$.

Решение:

Ответ: $z=3+iz\; =\; 3\; +\; i$.

Пример 4: Деление комплексных чисел

Найдём частное $\frac{z_1}{z_2}\backslash frac\{z\_1\}\{z\_2\}$, где $z_1=1+iz\_1\; =\; 1\; +\; i$, $z_2=1-iz\_2\; =\; 1\; -\; i$.

Решение:

1. Найдём сопряжённое к $z_{2}z\_2$: $\overline{z_2}=1+i\backslash overline\{z\_2\}\; =\; 1\; +\; i$.
2. Умножим числитель и знаменатель на $\overline{z_2}\backslash overline\{z\_2\}$:$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+2i-1}{1+1}=\frac{2i}{2}=i\mathrm{.}\backslash frac\{z\_1\}\{z\_2\}\; =\; \backslash frac\{(1\; +\; i)(1\; +\; i)\}\{(1\; -\; i)(1\; +\; i)\}\; =\; \backslash frac\{1\; +\; 2i\; +\; i^2\}\{1\; -\; i^2\}\; =\; \backslash frac\{1\; +\; 2i\; -\; 1\}\{1\; +\; 1\}\; =\; \backslash frac\{2i\}\{2\}\; =\; i.$

Ответ: $z=iz\; =\; i$.

Задачи для закрепления

1. Найдите модуль и аргумент числа $z=-3+4iz\; =\; -3\; +\; 4i$.
2. Сложите $z_1=5+2iz\_1\; =\; 5\; +\; 2i$ и $z_2=-3+iz\_2\; =\; -3\; +\; i$.
3. Умножьте $z_1=1+iz\_1\; =\; 1\; +\; i$ и $z_2=2+3iz\_2\; =\; 2\; +\; 3i$.
4. Найдите $z^{3}z^3$, если $z=2(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })z\; =\; 2(\backslash cos\; 30^\backslash circ\; +\; i\; \backslash sin\; 30^\backslash circ)$.

Заключение

Комплексные числа — это важная часть математики, используемая в алгебре, геометрии, физике и инженерии. Знание их свойств, арифметических операций и различных форм записи позволяет эффективно решать задачи в теории чисел, тригонометрии и математическом анализе.