Шешімі: График кусочной функции
Постройте график функции
$y = \begin{cases} x^2 + 6x + 9, & x \geq -5, \\ -\dfrac{20}{x}, & x < -5, \end{cases}$
и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком одну или две общие точки.
Шешімін қадамдап көрсету
8 қадамПервую часть функции преобразуем к виду параболы с вершиной:
$$y=x^2+6x+9=(x+3)^2,\quad x\geq -5$$Это правая часть параболы с вершиной $(-3;0)$. На границе области $x=-5$ парабола принимает значение $y=4$, поэтому точка $(-5;4)$ принадлежит графику. При $x\geq -5$ парабола сначала убывает от $4$ до $0$, а затем возрастает.
Вторая часть имеет вид $y=-\dfrac{20}{x}$ при $x<-5$. На рассматриваемой ветви значения функции положительны: при $x\to -\infty$ значение $y$ стремится к $0$, а при $x\to -5- $ значение $y$ стремится к $4$, но значение $4$ на этой ветви не достигается.
Для пересечения с прямой $y=m$ на параболе решаем уравнение:
$$(x+3)^2=m$$Если $m<0$, решений нет. При $m=0$ имеется одно решение $x=-3$. При $0<m<4$ оба корня $x=-3\pm\sqrt m$ удовлетворяют условию $x\geq -5$, поэтому на параболе две точки пересечения. При $m=4$ корни равны $x=-5$ и $x=-1$, то есть также две точки. При $m>4$ допустим только корень $x=-3+\sqrt m$, поэтому на параболе одна точка пересечения.
Для гиперболы решаем уравнение:
$$-\dfrac{20}{x}=m$$При $m\leq 0$ решений на рассматриваемой ветви нет. При $m>0$ получаем $x=-\dfrac{20}{m}$. Условие $x<-5$ равносильно $m<4$. Следовательно, гипербола даёт одну точку пересечения при $0<m<4$ и не даёт точек при $m\geq 4$.
Итак, при $0<m<4$ всего три точки пересечения. При $m=0$ одна точка, при $m=4$ две точки, а при $m>4$ одна точка.
Прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки при $m=0$ или $m\geq 4$.
Бұл жауап талдау нәтижесінде алынды, бірақ банктің ресми кілтімен тексерілген жоқ — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают точку $x=-5$ на гиперболе, хотя для второй части задано строгое условие $x<-5$.
Считают, что при $0<m<4$ прямая имеет две точки пересечения, не учитывая пересечение с ветвью гиперболы.
Не проверяют область определения корней уравнения $(x+3)^2=m$.
Забывают, что точка $(-5;4)$ принадлежит параболе.