Решение: Расстояние между хордами
Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=33+99=132$$Проведём радиусы $O_1A$ и $O_2C$. Они перпендикулярны общей касательной $AC$, поэтому треугольник, образованный линией центров и радиусами к касательной, является прямоугольным. Разность радиусов равна:
$$O_2C-O_1A=99-33=66$$Если $\alpha$ — угол между линией центров и общей касательной, то из прямоугольного треугольника получаем:
$$\cos\alpha=\dfrac{99-33}{132}=\dfrac{66}{132}=\dfrac12$$Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны общей нормали к касательным и параллельны друг другу. Их расстояние равно проекции расстояния между центрами на направление, перпендикулярное этим прямым:
$$d=132+66\cos\alpha=132+66\cdot\dfrac12=165$$Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $165$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстояние между центрами равным разности радиусов вместо суммы.
Забыть, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Взять расстояние между прямыми равным расстоянию между центрами $132$, не учитывая смещение точек касания из-за разных радиусов.