Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=4|x-3|-x^2+8x-15$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модуль при $x<3$ и при $x\geqslant3$.
$$y=\begin{cases}4(3-x)-x^2+8x-15,&x<3,\\4(x-3)-x^2+8x-15,&x\geqslant3.\end{cases}$$Упростим выражения и приведём их к вершиной форме.
$$y=\begin{cases}-x^2+4x-3=1-(x-2)^2,&x<3,\\-x^2+12x-27=9-(x-6)^2,&x\geqslant3.\end{cases}$$Первая ветвь является частью параболы с вершиной $(2;1)$, определённой при $x<3$. При пересечении с прямой $y=m$ уравнение $1-(x-2)^2=m$ имеет две точки при $0<m<1$, одну точку при $m\leqslant0$ или $m=1$, и ни одной при $m>1$ с учётом ограничения $x<3$.
Вторая ветвь является частью параболы с вершиной $(6;9)$, определённой при $x\geqslant3$. Уравнение $9-(x-6)^2=m$ имеет одну точку при $m<0$, две точки при $0\leqslant m<9$, одну точку при $m=9$ и ни одной при $m>9$.
Суммарно ровно три общие точки получаются при $m=0$: одна точка на первой ветви и две на второй ветви; и при $m=1$: одна точка на первой ветви и две на второй ветви.
Для построения графика нужно изобразить часть параболы $y=1-(x-2)^2$ слева от точки $(3;0)$ и часть параболы $y=9-(x-6)^2$ начиная с точки $(3;0)$.
$m\in\{0;1\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<3$ и $x\geqslant3$ после раскрытия модуля.
Считать точку $(3;0)$ принадлежащей обеим ветвям.
Определять число пересечений только по вершинам парабол, не учитывая область определения каждой ветви.