Радиус касающейся окружности
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $4$ и $15$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите координатную плоскость: расположите точку $A$ в начале координат, а сторону $AC$ направьте вдоль оси $Ox$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Центр окружности, проходящей через $M(4;0)$ и $N(15;0)$, лежит на их серединном перпендикуляре. Условие касания можно выразить через равенство расстояния от центра до прямой $AB$ и радиуса.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получаются два центра на серединном перпендикуляре, но только для одного из них точка касания лежит на луче $AB$. Для него радиус равен $8$.