Решение: Радиус окружности в трапеции
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $32$ и $24$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB=7$.
Решение по шагам
7 шаговПусть $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, а $BH=h$. Обозначим $AH=x$. Так как разность оснований равна $32-24=8$, то горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $8-x$.
$$AB^2=x^2+h^2=49$$Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.
$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{8-x}=1$$Следовательно, $h^2=x(8-x)$. Подставляя это равенство в $x^2+h^2=49$, получаем $8x=49$, откуда $x=\dfrac{49}{8}$.
$$x^2+x(8-x)=49\quad\Rightarrow\quad 8x=49$$Тогда $h^2=\dfrac{49}{8}\cdot\dfrac{15}{8}=\dfrac{735}{64}$, то есть $h=\dfrac{7\sqrt{15}}{8}$. В координатах можно взять $A=(0,0)$, $D=(32,0)$, $B=\left(\dfrac{49}{8},h\right)$, $C=\left(\dfrac{241}{8},h\right)$.
$$h=\frac{7\sqrt{15}}{8}$$Векторы $\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{49}{8},\dfrac{7\sqrt{15}}{8}\right)$ и $\overrightarrow{DC}=\left(-\dfrac{15}{8},\dfrac{7\sqrt{15}}{8}\right)$ перпендикулярны, поскольку их скалярное произведение равно нулю. Значит, $AB\perp CD$.
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}=\frac{49}{8}\cdot\left(-\frac{15}{8}\right)+\frac{7\sqrt{15}}{8}\cdot\frac{7\sqrt{15}}{8}=0$$Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Так как $CD\perp AB$, этот серединный перпендикуляр параллелен $CD$. Расстояние от его точек до прямой $CD$ постоянно. Для середины $M$ отрезка $AB$ это расстояние равно расстоянию от $M$ до $CD$.
$$r=\operatorname{dist}(M,CD)$$Вычислим это расстояние. Прямая $CD$ имеет уравнение $7\sqrt{15}x+15y-224\sqrt{15}=0$, а $M=\left(\dfrac{49}{16},\dfrac{7\sqrt{15}}{16}\right)$. Поэтому
$$\operatorname{dist}(M,CD)=\frac{\left|7\sqrt{15}\cdot\frac{49}{16}+15\cdot\frac{7\sqrt{15}}{16}-224\sqrt{15}\right|}{\sqrt{(7\sqrt{15})^2+15^2}}=\frac{196\sqrt{15}}{8\sqrt{15}}=\frac{49}{2}$$Радиус искомой окружности равен $\dfrac{49}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать горизонтальную проекцию стороны $CD$: она равна $8-x$, а не $8+x$.
Использовать условие о сумме углов без перехода к равенству тангенсов.
Считать радиус равным половине основания или половине стороны $AB$ без доказательства.
Не обосновать, почему расстояние от центра окружности до прямой $CD$ можно вычислить через середину отрезка $AB$.