Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 2, & x \geq -2, \\ \dfrac{6}{x}, & x < -2. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговПри $x \geq -2$ строим часть параболы $y = x^2 + 2$. Её вершина имеет координаты $(0; 2)$, а точка при $x = -2$ имеет координаты $(-2; 6)$ и входит в график.
При $x < -2$ строим левую ветвь гиперболы $y = \dfrac{6}{x}$. При приближении $x$ к $-2$ слева значение $y$ стремится к $-3$, но точка с ординатой $-3$ не входит в график. При $x \to -\infty$ значение $y$ стремится к $0$.
Для гиперболы уравнение пересечения с прямой $y = m$ имеет вид $\dfrac{6}{x} = m$. При $m < 0$ получаем $x = \dfrac{6}{m}$. Условие $x < -2$ выполняется тогда и только тогда, когда $-3 < m < 0$. В этом случае имеется ровно одна точка пересечения.
Для параболы уравнение пересечения имеет вид $x^2 + 2 = m$, поэтому $x^2 = m - 2$. При $m < 2$ пересечений нет, при $m = 2$ имеется одна точка — вершина.
При $2 < m \leq 6$ уравнение параболы имеет два корня, и оба удовлетворяют условию $x \geq -2$ при $m \leq 6$. При $m > 6$ отрицательный корень меньше $-2$ и не входит в рассматриваемую часть параболы, поэтому остаётся ровно одна точка пересечения.
Объединяем значения параметра, при которых ровно одна точка получается на одной из частей графика.
$m \in (-3; 0) \cup \{2\} \cup (6; +\infty)$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x \geq -2$ и $x < -2$.
Включать значения $m = -3$ или $m = 0$, хотя они являются предельными и не достигаются на ветви гиперболы.
Считать, что при $m > 6$ у параболы остаются две точки пересечения, не проверяя область определения её части.
Забывать, что при $m = 2$ горизонтальная прямая касается параболы в вершине.