Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{6}-\dfrac{6}{x}\right|+\dfrac{x}{6}+\dfrac{6}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
6 шаговОбласть определения функции: $x\ne0$.
Обозначим $a=\dfrac{x}{6}$ и $b=\dfrac{6}{x}$. Тогда функция имеет вид $y=\dfrac{|a-b|+a+b}{2}$, то есть равна большему из чисел $a$ и $b$.
Сравним $\dfrac{x}{6}$ и $\dfrac{6}{x}$. Их равенство возможно при $x^2=36$, то есть при $x=-6$ и $x=6$.
На промежутках знакопостоянства получаем кусочную запись функции:
$$y=\begin{cases}\dfrac{6}{x},&x\in(-\infty,-6]\cup(0,6],\\[4pt]\dfrac{x}{6},&x\in[-6,0)\cup[6,+\infty).\end{cases}$$График состоит из частей гиперболы $y=\dfrac{6}{x}$ и прямой $y=\dfrac{x}{6}$; точки соединения имеют координаты $(-6,-1)$ и $(6,1)$.
При $m=1$ прямая $y=m$ проходит через единственную точку $(6,1)$. При $m=-1$ она проходит через единственную точку $(-6,-1)$. При $m>1$ или $m<-1$ имеются две точки пересечения, а при $-1<m<1$ пересечений нет.
$m\in\{-1;1\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что $x=0$ не входит в область определения.
Неверно раскрывают модуль и меняют местами участки функций.
Считают, что при $m>1$ или $m<-1$ имеется только одна точка пересечения.