Решение: Медиана и биссектриса
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $16$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим $AB = m$, $BC = n$, а половину угла $B$ — через $\alpha$. Введём координаты так, чтобы биссектриса $BE$ была вертикальной осью. Тогда можно записать координаты вершин:
$$A=(m\sin\alpha, m\cos\alpha),\quad C=(-n\sin\alpha, n\cos\alpha)$$По теореме о биссектрисе точка $E$ делит сторону $AC$ в отношении $AE:EC = AB:BC = m:n$. Поэтому координата $x$ точки $E$ равна нулю, а её координата $y$ равна:
$$BE=\frac{2mn\cos\alpha}{m+n}=16$$Середина отрезка $AC$ имеет координаты $D=\left(\frac{(m-n)\sin\alpha}{2},\frac{(m+n)\cos\alpha}{2}\right)$. Так как $AD\perp BE$, отрезок $AD$ горизонтален. Следовательно, его вертикальная составляющая равна нулю, откуда $m=n$.
$$(n-m)\cos\alpha=0\quad\Rightarrow\quad m=n$$Значит, треугольник $ABC$ равнобедренный, а биссектриса $BE$ является также медианой и высотой. При $m=n$ из условия $BE=16$ получаем:
$$m\cos\alpha=16$$Поскольку $AD=16$, горизонтальная составляющая отрезка $AB$ также равна $16$:
$$m\sin\alpha=16$$Возводим полученные равенства в квадрат и складываем:
$$m^2\sin^2\alpha+m^2\cos^2\alpha=16^2+16^2$$Отсюда:
$$m^2=512\quad\Rightarrow\quad m=16\sqrt{2}$$Таким образом, $AB=BC=16\sqrt{2}$. Основание равно удвоенной горизонтальной составляющей:
$$AC=2AD=32$$AB=BC=16\sqrt{2},\quad AC=32
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать, что из условия сразу следует равенство всех сторон.
Забыть, что $AD$ — медиана, то есть точка $D$ является серединой $AC$.
Использовать длину $AD=16$ как половину стороны $AC$ без доказательства перпендикулярности и симметрии.
Указать только ответ без обоснования.