Решение: Площади треугольников в параллелограмме
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $H$ высоту параллелограмма $ABCD$, проведённую между параллельными сторонами $BC$ и $AD$. Пусть $h_1$ и $h_2$ — расстояния от точки $E$ до прямых $BC$ и $AD$ соответственно.
$$h_1+h_2=H$$Рассмотрим треугольник $BEC$. Выберем сторону $BC$ в качестве основания. Его высота равна $h_1$, поэтому его площадь равна:
$$S_{BEC}=\frac12 BC\cdot h_1$$В треугольнике $AED$ выберем основание $AD$. Его высота равна $h_2$. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, $AD=BC$.
$$S_{AED}=\frac12 AD\cdot h_2=\frac12 BC\cdot h_2$$Сложим площади полученных треугольников и используем равенство $h_1+h_2=H$.
$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac12 BC(h_1+h_2)=\frac12 BC\cdot H$$Площадь параллелограмма равна произведению основания $BC$ на высоту $H$. Следовательно, сумма площадей треугольников равна половине площади параллелограмма.
$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac12 S_{ABCD}$$Таким образом, $S_{BEC}+S_{AED}=\frac12 S_{ABCD}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно считать высоты треугольников равными друг другу.
Использовать в формуле площади треугольника высоту к основанию, не совпадающему с выбранной стороной.
Не обосновать, почему сумма расстояний от точки $E$ до параллельных прямых $BC$ и $AD$ равна высоте параллелограмма.