Решение: Высота и окружность треугольника
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK=12$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим начало координат в точке $B$, а оси направим вдоль катетов $BA$ и $BC$. Пусть $BA=a$, $BC=c$. Тогда точка $H$ имеет координаты
$$H\left(\dfrac{ac^2}{a^2+c^2},\dfrac{a^2c}{a^2+c^2}\right)$$Уравнение окружности с диаметром $BH$, проходящей через начало координат, имеет вид
$$x^2+y^2-x_Hx-y_Hy=0$$При пересечении с осью $BA$ получаем точку $P=(x_H,0)$, а при пересечении с осью $BC$ — точку $K=(0,y_H)$.
По теореме Пифагора для треугольника $PBK$ имеем
$$PK^2=x_H^2+y_H^2$$Так как $BH^2=x_H^2+y_H^2$, то $PK^2=BH^2$. Длины положительны, следовательно, $PK=BH$.
По условию $PK=12$, поэтому
$$BH=12$$$BH=12$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что радиус окружности равен $BH$, хотя её диаметр равен $BH$.
Не обосновать, почему координаты точек $P$ и $K$ связаны с координатами точки $H$.
Ошибочно использовать равенство $PK=\dfrac{BH}{2}$.