Решение: График рациональной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+2{,}25)(x+1)}{-1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
8 шаговОбласть определения исходной функции задаётся условием $x\ne-1$, поскольку знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$x+1\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne-1$$Сократим множитель $x+1$, сохранив ограничение $x\ne-1$.
$$y=\frac{(x^2+2{,}25)(x+1)}{-(x+1)}=-(x^2+2{,}25)=-x^2-2{,}25,\quad x\ne-1$$График — парабола $y=-x^2-2{,}25$, ветви направлены вниз, вершина имеет координаты $(0;-2{,}25)$. В точке с абсциссой $x=-1$ точка отсутствует; её координаты $(-1;-3{,}25)$.
Для нахождения общих точек приравняем значения функций.
$$-x^2-2{,}25=kx\quad\Rightarrow\quad x^2+kx+2{,}25=0$$Если квадратное уравнение имеет единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю.
$$D=k^2-4\cdot2{,}25=k^2-9=0\quad\Rightarrow\quad k=\pm3$$При $k=3$ единственный корень равен $x=-1{,}5$, а при $k=-3$ — $x=1{,}5$. Оба корня допустимы, поэтому эти значения подходят.
Также ровно одна общая точка может получиться, если уравнение имеет два корня, но один из них соответствует выколотой точке $x=-1$. Подставим $x=-1$ в уравнение пересечения.
$$1-k+2{,}25=0\quad\Rightarrow\quad k=3{,}25=\frac{13}{4}$$При $k=\frac{13}{4}$ второй корень равен $x=-\frac94$, он допустим. Следовательно, остаётся ровно одна общая точка.
График: парабола $y=-x^2-2{,}25$ с выколотой точкой $(-1;-3{,}25)$. Ровно одна общая точка получается при $k\in\left\{-3,\frac{13}{4},3\right\}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne-1$ после сокращения дроби.
Получить только значения $k=\pm3$ и не проверить случай с выколотой точкой.
Изобразить полную параболу без выколотой точки $(-1;-3{,}25)$.