Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2-3x)\cdot|x|}{x-3}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение по шагам
6 шаговЗнаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому область определения функции: $x\ne 3$.
$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$При $x\ne 3$ сокращаем множитель $x-3$ в числителе и знаменателе.
$$y=\frac{x(x-3)|x|}{x-3}=x|x|$$Раскрываем модуль по определению.
$$y=\begin{cases}-x^2, & x<0,\\ x^2, & x\geq 0,\ x\ne 3.\end{cases}$$График состоит из левой ветви параболы $y=-x^2$ и правой ветви параболы $y=x^2$. В точке $(3;9)$ находится выколотая точка, так как $x=3$ не входит в область определения.
$$y(3)\text{ не определено}$$Множество значений функции содержит все неотрицательные значения от ветви $y=x^2$, кроме $9$, а отрицательные значения получаются на ветви $y=-x^2$.
$$E(y)=(-\infty;9)\cup(9;+\infty)$$Прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда значение $m$ отсутствует во множестве значений функции.
$$m=9$$Прямая $y=m$ не имеет с графиком ни одной общей точки при $m=9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x\ne 3$ после сокращения дроби.
Изображать точку $(3;9)$ как принадлежащую графику.
Считать, что после сокращения исходная функция определена при всех $x$.