Решение: Расстояние от точки касания
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 20$, $BC = 10$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(10,0)$, $A=(0,h)$, $D=(20,h)$. Пусть $E=(0,e)$. Тогда прямая $CD$ имеет уравнение $y=h$, поэтому искомое расстояние равно $|h-e|$.
$$d=|h-e|$$Так как окружность касается прямой $AB$, её уравнение имеет вид
$$x^2+y^2+ux-2ey+e^2=0$$Подставим координаты точки $C=(10,0)$:
$$100+10u+e^2=0,\qquad u=-10-\frac{e^2}{10}$$Подставим координаты точки $D=(20,h)$ и упростим:
$$400+h^2+20u-2eh+e^2=0$$После подстановки значения $u$ получаем:
$$200+h^2-2eh-e^2=0,\qquad (h-e)^2=2e^2-200$$Следовательно, искомое расстояние зависит от координаты точки касания $E$: $d=\sqrt{2e^2-200}$. Эта координата условием не задана. Например, при $e=12$ получаем $d=\sqrt{88}$, а при $e=15$ получаем $d=5\sqrt{10}$. Обе конфигурации удовлетворяют условию.
Расстояние не определяется однозначно: условие задачи недостаточно для получения единственного ответа.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что расстояние равно половине разности оснований, то есть $5$, без доказательства.
Предположить, что точка $E$ совпадает с точкой $A$.
Не учитывать, что высота трапеции и положение точки касания не заданы.