Расстояние от точки до окружности
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB = 30$, $AC = 100$, точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В треугольнике известны длины сторон , , точка центр окружности, описанной около треугольника . Прямая , перпендикулярная прямой , пересекает сторону в точке . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны координаты точки на окружности с центром $O$ и точка пересечения прямой $BD$ со стороной $AC$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Можно ввести координаты: расположить $A$ в начале координат, а $AO$ направить вдоль оси абсцисс. Для любой точки $X$ окружности выражение $AX^2$ связано с её абсциссой.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если $AO = R$, то для точек $B$ и $C$ получаем $x_B = \dfrac{AB^2}{2R}$ и $x_C = \dfrac{AC^2}{2R}$. Так как $BD \perp AO$, точка $D$ имеет абсциссу $x_B$. Найдите $AD$ через подобие координат, затем вычислите $CD$.