Решение: Площадь трапеции по биссектрисе
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 28 и 35, а основание $BC$ равно 7. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Решение по шагам
6 шаговПусть $M$ — середина стороны $AB$, а $h$ — высота трапеции. Так как $DM$ является биссектрисой угла $ADC$, точка $M$ равноудалена от прямых $AD$ и $CD$.
$$d(M,AD)=d(M,CD)$$Расстояние от середины боковой стороны $AB$ до основания $AD$ равно $\dfrac{h}{2}$. Сопоставление расстояний до прямых $AD$ и $CD$ даёт соотношение между основаниями и боковой стороной $CD$:
$$AD+BC=CD$$Следовательно, длина основания $AD$ равна:
$$AD=CD-BC=35-7=28$$Разность оснований равна $28-7=21$. Из равенства боковых сторон и теоремы Пифагора получаем высоту трапеции. Если горизонтальная проекция стороны $AB$ равна $x$, то для двух боковых сторон:
$$x^2+h^2=28^2,\quad (21-x)^2+h^2=35^2$$Вычитая первое равенство из второго, находим $x=0$, поэтому:
$$h=28$$Площадь трапеции равна:
$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{28+7}{2}\cdot28=490$$Площадь трапеции равна 490.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путают боковые стороны и основания трапеции.
Не используют свойство точки, лежащей на биссектрисе угла.
Вычисляют площадь без нахождения высоты.
Ошибочно принимают разность оснований за высоту.