Решение: Радиус окружности и касательная
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $24$ и $42$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$.
Решение по шагам
9 шаговВведём координаты: $A=(0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль луча $AC$. Тогда $M=(24,0)$ и $N=(42,0)$.
Середина отрезка $MN$ имеет абсциссу $33$, поэтому центр окружности имеет вид $O=(33;y)$.
Радиус окружности найдём по расстоянию от центра до точки $M$: $R^2=OM^2=(33-24)^2+y^2=81+y^2$.
Поскольку $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt7}{4}$, получаем $\sin\angle BAC=\dfrac34$. Направляющий единичный вектор луча $AB$ равен $\left(\dfrac{\sqrt7}{4},\dfrac34\right)$.
Расстояние от точки $O=(33;y)$ до прямой $AB$ равно модулю определителя: $d=\left|33\cdot\dfrac34-y\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}\right|=\left|\dfrac{99-y\sqrt7}{4}\right|$.
Так как прямая $AB$ касается окружности, $d=R$. Поэтому $\left(\dfrac{99-y\sqrt7}{4}\right)^2=81+y^2$.
После преобразования получаем $y^2+22\sqrt7y-945=0$. Корни: $y=5\sqrt7$ и $y=-27\sqrt7$.
Для $y=5\sqrt7$ проекция центра на направление луча $AB$ положительна: $33\cdot\dfrac{\sqrt7}{4}+5\sqrt7\cdot\dfrac34=12\sqrt7>0$. Значит, точка касания лежит на луче $AB$. Второй корень соответствует касанию продолжения прямой в противоположном направлении.
Следовательно, $R^2=81+(5\sqrt7)^2=81+175=256$, откуда $R=16$.
Радиус окружности равен $16$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют только условие касания прямой и не проверяют, что точка касания лежит на луче.
Берут оба корня квадратного уравнения без геометрического отбора.
Ошибаются в вычислении $\sin\angle BAC$: из $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt7}{4}$ следует $\sin\angle BAC=\dfrac34$.