Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 5, & \text{при } x \ge 1, \\ x + 3, & \text{при } x < 1. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
7 шаговПреобразуем уравнение первой части функции:
$$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$$Это парабола с вершиной $(2; 1)$, ветви направлены вверх. Из-за условия $x \ge 1$ на графике есть закрашенная точка $(1; 2)$, а левая часть параболы берётся только начиная с этой точки.
Вторая часть является прямой $y = x + 3$ при $x < 1$. Она проходит через точку $(1; 4)$, но эта точка не входит в график, поэтому значение $y = 4$ для этой части не достигается.
Для пересечения горизонтальной прямой $y = m$ с параболой решаем уравнение:
$$(x - 2)^2 + 1 = m, \quad (x - 2)^2 = m - 1$$Если $m < 1$, пересечений с параболой нет. При $m = 1$ имеется одно пересечение с вершиной. При $1 < m \le 2$ имеются два пересечения, поскольку оба корня удовлетворяют условию $x \ge 1$. При $m > 2$ левый корень становится меньше 1, поэтому остаётся одно пересечение.
Для прямой $y = x + 3$ абсцисса точки пересечения равна $x = m - 3$. Условие $x < 1$ даёт $m - 3 < 1$, то есть $m < 4$. Следовательно, с прямой имеется одно пересечение при $m < 4$ и нет пересечений при $m \ge 4$.
При $m = 1$ с параболой имеется одна точка и с прямой одна точка, всего две. При $1 < m \le 2$ всего три точки. При $2 < m < 4$ с параболой имеется одна точка и с прямой одна точка, всего две. В остальных случаях число точек не равно двум.
$m = 1$ или $2 < m < 4$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Учитывают левую ветвь параболы при $x < 1$, хотя первая часть задана только при $x \ge 1$.
Считают точку $(1; 4)$ принадлежащей графику прямой.
Не учитывают, что при $m > 2$ один из корней уравнения для параболы имеет абсциссу меньше 1.
Приравнивают количество пересечений только с одной частью графика.