Решение: График функции с модулем
Постройте график функции $y = \left|x^2 + x - 2\right|$. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение по шагам
4 шагаРассмотрим параболу $y = x^2 + x - 2$. Её нули находятся из уравнения $(x + 2)(x - 1) = 0$: $x = -2$ и $x = 1$.
$$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$Вершина исходной параболы имеет координаты $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}\right)$. После взятия модуля часть графика ниже оси абсцисс отражается вверх, поэтому вершина этой части становится точкой $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$.
$$y = \left|-x^2-x+2\right| = -x^2-x+2,\quad -2\leq x\leq 1$$График функции состоит из внешних частей параболы $y = x^2 + x - 2$ при $x \leq -2$ и $x \geq 1$, а также отражённой вверх части $y = -x^2 - x + 2$ при $-2 \leq x \leq 1$.
$$y=\begin{cases}x^2+x-2,&x\leq -2\text{ или }x\geq 1,\\-x^2-x+2,&-2\leq x\leq 1\end{cases}$$Рассмотрим горизонтальную прямую $y=c$. При $0<c<\frac{9}{4}$ она пересекает две внешние ветви и две точки отражённой части параболы. При $c=0$ имеются только две точки пересечения, а при $c=\frac{9}{4}$ — три точки пересечения.
$$0<c<\frac{9}{4}\ \Longrightarrow\ 4\text{ точки пересечения}$$Наибольшее число общих точек равно 4.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не отражают часть параболы, расположенную ниже оси абсцисс.
Считают, что горизонтальная прямая может пересекать график только в двух точках.
Не учитывают ограничение $-2\leq x\leq 1$ для отражённой части.