Решение: Расстояние между хордами касания
Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:
$$O_1O_2=42+84=126$$Прямые $AB$ и $CD$ являются хордами, соединяющими точки касания двух общих внешних касательных с соответствующими окружностями. Поэтому обе эти прямые перпендикулярны линии центров $O_1O_2$.
Введём координаты: пусть $O_1=(0,0)$, $O_2=(126,0)$. Для одной из общих касательных единичная нормаль имеет горизонтальную составляющую $n_x$. Условие касания одной и той же прямой к окружностям даёт:
$$42=126n_x+84$$Отсюда:
$$n_x=\frac{42-84}{126}=-\frac{1}{3}$$Абсцисса точки касания на первой окружности равна $42n_x=-14$. Абсцисса точки касания на второй окружности равна $126+84n_x=126-28=98$. Следовательно, прямые $AB$ и $CD$, перпендикулярные линии центров, имеют уравнения $x=-14$ и $x=98$.
Расстояние между этими параллельными прямыми равно разности их абсцисс:
$$98-(-14)=112$$112
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать расстоянием между прямыми разность радиусов, равную 42.
Использовать расстояние между центрами 126 как искомое расстояние.
Не учитывать, что $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров.