Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y = x^2 + 13x - 3|x + 7| + 42$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем знак модуля. При $x < -7$ имеем $|x+7| = -(x+7)$, поэтому
$$y = x^2 + 13x + 3(x+7) + 42 = x^2 + 16x + 63 = (x+8)^2 - 1$$При $x \geq -7$ имеем $|x+7| = x+7$, поэтому
$$y = x^2 + 13x - 3(x+7) + 42 = x^2 + 10x + 21 = (x+5)^2 - 4$$Таким образом, график состоит из части параболы $y=(x+8)^2-1$ при $x<-7$ и части параболы $y=(x+5)^2-4$ при $x\geq-7$. Обе части соединяются в точке $(-7;0)$.
Левая часть имеет вершину $(-8;-1)$ и при горизонтальной прямой $y=m$ даёт: 0 пересечений при $m<-1$, 1 пересечение при $m=-1$, 2 пересечения при $m>-1$ до учёта ограничения $x<-7$. Для $m=0$ одно из корней равно $x=-7$ и не относится к левой части, поэтому остаётся одно пересечение.
Правая часть имеет вершину $(-5;-4)$ и начинается в точке $(-7;0)$. При $m=-1$ она пересекается с прямой $y=m$ в двух точках, а при $m=0$ — в двух точках: $x=-7$ и $x=-3$.
При $m=-1$ получается одна точка пересечения с левой частью и две с правой частью, всего три точки. При $m=0$ получается одна точка с левой частью и две с правой частью, всего три точки.
Ровно три общие точки получаются при $m=-1$ и $m=0$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<-7$ и $x\geq-7$ после раскрытия модуля.
Считать точку $x=-7$ принадлежащей обеим частям графика.
Не учитывать, что при $m=0$ левая парабола имеет корень $x=-7$, который исключён из её области определения.