Решение: Площадь параллелограмма
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $5$, $4$ и $3$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
5 шаговРасстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности: $r=3$. Так как $AO=5$, то в прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром к $AC$, второй катет равен
$$\sqrt{AO^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$Расположим $A=(0,0)$, прямую $AC$ вдоль оси абсцисс. Тогда можно принять $O=(4,3)$. Прямая $AB$ является касательной к окружности с центром $O$ и радиусом $3$. Её уравнение имеет вид $24x-7y=0$, поэтому направляющий вектор стороны $AB$ пропорционален $(7,24)$.
Так как $AD\parallel BC$, а расстояние от $O$ до $AD$ равно $4$, направление $AD$ получается вертикальным. Следовательно, $BC$ также вертикальна. Поскольку $BC$ — касательная к окружности радиуса $3$, её уравнение имеет вид $x=7$.
Точка $C$ лежит на оси абсцисс, поэтому $C=(7,0)$. Точка $B$ лежит на прямой $24x-7y=0$ и на прямой $x=7$, откуда $B=(7,24)$. Значит, $AC=7$, а высота параллелограмма к основанию $AC$ равна $BC=24$.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
$$S_{ABCD}=AC\cdot BC=7\cdot24=168$$168
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать радиус вписанной окружности с расстоянием от точки O до точки A.
Использовать длину AO как высоту параллелограмма.
Не учитывать, что стороны BC и AD параллельны.
Найти площадь треугольника ABC вместо площади параллелограмма.