Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=x|x|-|x|-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем знаки модулей. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому
$$y=x(-x)-(-x)-3x=-x^2-2x=1-(x+1)^2$$При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому
$$y=x^2-x-3x=x^2-4x=(x-2)^2-4$$График состоит из части параболы $y=1-(x+1)^2$ при $x<0$ и части параболы $y=(x-2)^2-4$ при $x\geqslant 0$. Вершины этих частей имеют координаты $(-1;1)$ и $(2;-4)$ соответственно. Обе части проходят через точку $(0;0)$, причём точка $(0;0)$ относится к правой части.
Для левой части уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $1-(x+1)^2=m$. При $m<0$ имеется одно решение с $x<0$, при $0<m<1$ — два решения, при $m=1$ — одно решение, а при $m>1$ решений нет. При $m=0$ левая часть даёт одно решение $x=-2$.
Для правой части уравнение пересечения имеет вид $(x-2)^2-4=m$ при $x\geqslant 0$. При $m=-4$ имеется одно решение, при $-4<m<0$ — два решения, при $m=0$ — два решения $x=0$ и $x=4$, а при $m>0$ — одно решение.
Подсчитываем общие точки графика с горизонтальной прямой. При $m=-4$ имеется одна точка на каждой части графика, всего две точки. При $m=1$ имеется по одной точке на каждой части, всего две точки. В остальных случаях число общих точек отличается от двух.
$m=-4$ и $m=1$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничения $x<0$ и $x\geqslant 0$ для частей графика.
Считать точку $(0;0)$ одновременно принадлежащей двум разным точкам графика.
Утверждать, что при $m=0$ имеется только одна общая точка.
Неверно определять вершину параболы $y=(x-2)^2-4$.