Решение: Отрезок на сторонах треугольника
Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK$, если $BH = 15$.
Решение по шагам
6 шаговВведём прямоугольную систему координат с началом в точке $B$, направив ось $Ox$ вдоль $BA$, а ось $Oy$ вдоль $BC$. Пусть $H=(x_H,y_H)$.
Точка $X$ принадлежит окружности с диаметром $BH$ тогда и только тогда, когда угол $BXH$ прямой. В координатах это означает, что скалярное произведение векторов $\overrightarrow{BX}$ и $\overrightarrow{HX}$ равно нулю.
$$x(x-x_H)+y(y-y_H)=0$$Точка $P$ лежит на оси $Ox$, поэтому $y=0$. Подставляя это в уравнение окружности, получаем $x(x-x_H)=0$. Помимо точки $B$, окружность пересекает $AB$ в точке $P=(x_H,0)$.
Аналогично, для точки $K$ на оси $Oy$ имеем $x=0$, откуда $y(y-y_H)=0$. Помимо точки $B$, окружность пересекает $CB$ в точке $K=(0,y_H)$.
Следовательно, координаты вектора $\overrightarrow{PK}$ равны $(-x_H,y_H)$, поэтому длина отрезка $PK$ равна длине отрезка $BH$.
$$PK=\sqrt{x_H^2+y_H^2}=BH$$Так как $BH=15$, получаем искомую длину отрезка.
$$PK=15$$Ответ: $15$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Ошибочно считать, что точки $P$ и $K$ совпадают с концами диаметра.
Не учитывать, что окружность пересекает каждую сторону в точке $B$ и ещё в одной точке.
Неверно применять теорему Пифагора к отрезкам, не являющимся катетами треугольника.