Решение: График кусочной функции
Постройте график функции $y=\dfrac{1}{2}\left(\left|\dfrac{x}{2{,}5}-\dfrac{2{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{2{,}5}+\dfrac{2{,}5}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение по шагам
5 шаговОбласть определения функции: $x\ne0$. Обозначим $a=\dfrac{x}{2{,}5}$ и $b=\dfrac{2{,}5}{x}$. Тогда исходное выражение имеет вид $\dfrac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$.
Сравнение дробей на промежутках области определения даёт кусочную запись функции:
$$y=\begin{cases}\dfrac{x}{2{,}5},&x\leq-2{,}5,\\[4pt]\dfrac{2{,}5}{x},&-2{,}5\leq x<0,\\[4pt]\dfrac{2{,}5}{x},&0<x\leq2{,}5,\\[4pt]\dfrac{x}{2{,}5},&x\geq2{,}5.\end{cases}$$График состоит из двух частей гиперболы $y=\dfrac{2{,}5}{x}$ на промежутках $[-2{,}5;0)$ и $(0;2{,}5]$ и двух лучей прямой $y=\dfrac{x}{2{,}5}$ при $x\leq-2{,}5$ и $x\geq2{,}5$. Точки соединения: $(-2{,}5;-1)$ и $(2{,}5;1)$.
При $m<-1$ горизонтальная прямая пересекает график дважды: одну ветвь гиперболы и левый луч. При $m=-1$ обе части сходятся в одной точке $(-2{,}5;-1)$, поэтому пересечение ровно одно.
При $-1<m<1$ пересечений нет. При $m=1$ пересечение ровно одно, в точке $(2{,}5;1)$. При $m>1$ прямая пересекает график дважды.
$m\in\{-1;1\}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что $x=0$ не входит в область определения.
Неверно сравнивают дроби на отрицательном промежутке из-за изменения знака при умножении на $x$.
Считают точки $(-2{,}5;-1)$ и $(2{,}5;1)$ двумя пересечениями, хотя в каждой из них части графика соединяются в одну точку.