Решение: Окружность и луч
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $12$ и $45$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если $\cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Решение по шагам
8 шаговРасположим начало координат в точке $A$, а ось $Ox$ направим вдоль $AC$. Тогда $M=(12,0)$ и $N=(45,0)$. Центр окружности равноудалён от точек $M$ и $N$, поэтому имеет координаты $O=\left(\dfrac{57}{2},y\right)$.
Так как $\cos \angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$, то $\sin \angle BAC=\dfrac14$. Уравнение прямой $AB$ можно задать направляющим вектором $\left(\dfrac{\sqrt{15}}4,\dfrac14\right)$.
Радиус окружности выражается через расстояние от центра до точки $M$: $R^2=\left(\dfrac{57}{2}-12\right)^2+y^2=\left(\dfrac{33}{2}\right)^2+y^2$.
Условие касания означает, что расстояние от $O$ до прямой $AB$ равно $R$. Поэтому $\left(\dfrac{57}{8}-\dfrac{\sqrt{15}}4y\right)^2=\left(\dfrac{33}{2}\right)^2+y^2$.
После упрощения получаем квадратное уравнение для ординаты центра:
$$y^2+57\sqrt{15}\,y+\frac{14175}{4}=0$$Его корни равны:
$$y=\frac{-57\sqrt{15}\pm6\sqrt{1745}}{2}$$Подстановка каждого корня в формулу радиуса даёт два положительных значения:
$$R_1\approx22{,}26,\qquad R_2\approx237{,}72$$Обе точки касания лежат на луче $AB$, поэтому оба найденных круга удовлетворяют условию задачи. Следовательно, без дополнительного ограничения задача имеет два ответа.
Радиусы окружностей: $R\approx22{,}26$ и $R\approx237{,}72$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют $\cos \angle BAC=\dfrac{15}{4}$ вместо правильного значения $\dfrac{\sqrt{15}}{4}$.
Считают, что центр окружности обязательно лежит на стороне $AC$.
Учитывают только один корень квадратного уравнения, хотя оба соответствуют касанию луча $AB$.
Приравнивают расстояние от центра до прямой к диаметру вместо радиуса.