Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=2|x-4|-x^2+9x-20$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение по шагам
7 шаговРаскроем знак модуля. При $x<4$ имеем $|x-4|=4-x$, поэтому
$$y=2(4-x)-x^2+9x-20=-x^2+7x-12=-(x-3)(x-4)$$При $x\geqslant4$ имеем $|x-4|=x-4$, поэтому
$$y=2(x-4)-x^2+9x-20=-x^2+11x-28=-(x-4)(x-7)$$Таким образом, график состоит из двух частей парабол. Левая часть задана при $x<4$ и имеет вершину $(3;0)$. Правая часть задана при $x\geqslant4$ и имеет вершину $\left(\frac{11}{2};\frac{9}{4}\right)$.
Обе части проходят через точку $(4;0)$: для левой части эта точка является предельной, а для правой входит в график. Нули функции: $x=3$, $x=4$ и $x=7$.
При $m<0$ горизонтальная прямая пересекает левую часть один раз: второй корень уравнения левой параболы расположен правее $4$. Правую часть она также пересекает один раз: второй корень расположен левее $4$. Итого получается две точки.
При $m=0$ прямая пересекает график в трёх точках с абсциссами $x=3$, $x=4$ и $x=7$.
При $0<m<\frac{9}{4}$ пересечения находятся только с правой параболой, их две. При $m=\frac{9}{4}$ имеется одна точка касания, а при $m>\frac{9}{4}$ общих точек нет.
$m=0$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать ограничение $x<4$ для левой части и $x\geqslant4$ для правой части.
Считать точку $(4;0)$ одновременно принадлежащей обеим частям графика.
Не учитывать вершину правой параболы с максимальным значением $\frac{9}{4}$.