Решение: Углы при высотах треугольника
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $\angle BB_1A_1$ и $\angle BAA_1$ равны.
Решение по шагам
4 шагаТак как $AA_1$ — высота треугольника, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $B$, $A_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AA_1B = 90^\circ$.
Так как $BB_1$ — высота, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $A$, $B_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AB_1B = 90^\circ$.
В четырёхугольнике $ABB_1A_1$ противоположные углы $\angle AA_1B$ и $\angle AB_1B$ в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, этот четырёхугольник является вписанным.
Вписанные углы $\angle BB_1A_1$ и $\angle BAA_1$ опираются на одну и ту же хорду $BA_1$. Поэтому они равны.
$\angle BB_1A_1 = \angle BAA_1$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно указывают, какие углы являются прямыми.
Не обосновывают, почему четырёхугольник $ABB_1A_1$ является вписанным.
Сравнивают углы, не указав общую хорду или дугу.