Решение: Диаметр окружности в треугольнике
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 3$, $AC = 9$.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим центр окружности через $O$, а её радиус через $r$. Поскольку окружность проходит через точку $C$, имеем $OC = r$. Центр $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $AO + OC = AC$.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$, и треугольник $AOB$ прямоугольный.
Пусть $AO = x$. Тогда $OC = r = 9 - x$, а по теореме Пифагора для треугольника $AOB$ получаем:
Решаем уравнение: $x^2 = 9 + 81 - 18x + x^2$, откуда $18x = 90$ и $x = 5$.
Следовательно, радиус окружности равен $r = OC = 9 - 5 = 4$. Диаметр окружности равен $2r = 8$.
Диаметр окружности равен $8$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Путают $AO$ и $OC$ при использовании условия $AC = 9$.
В качестве ответа указывают радиус $4$, а не диаметр.