Решение: Диаметр окружности в треугольнике
Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B$. Найдите диаметр окружности, если $AB = 2$, $AC = 8$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим центр окружности через $O$, а её радиус — через $r$. Так как окружность проходит через точки $B$ и $C$, то $OB = OC = r$.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $OB \perp AB$. Следовательно, треугольник $AOB$ прямоугольный.
Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, имеем $AO = AC - OC = 8-r$.
По теореме Пифагора для треугольника $AOB$: $(8-r)^2 = AB^2 + OB^2 = 2^2+r^2$.
Решаем уравнение: $64-16r+r^2=4+r^2$, откуда $16r=60$ и $r=\dfrac{15}{4}$.
Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: $d=2r=2\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{15}{2}$.
Диаметр окружности равен $\dfrac{15}{2}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Использовать $AO=8+r$ вместо $AO=8-r$.
Назвать радиусом найденную величину и не удвоить её для получения диаметра.