Решение: Площади треугольников в параллелограмме
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим через $h_1$ расстояние от точки $F$ до прямой $BC$, а через $h_2$ — расстояние от точки $F$ до прямой $AD$.
Площади треугольников, взятых с основаниями $BC$ и $AD$, равны:
$$S_{BFC}=\frac12 BC\cdot h_1,\qquad S_{AFD}=\frac12 AD\cdot h_2$$В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC=AD$. Кроме того, прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а точка $F$ находится между ними. Поэтому сумма расстояний от точки $F$ до этих прямых равна высоте параллелограмма, проведённой к основаниям $BC$ и $AD$:
$$h_1+h_2=h$$Сложим площади треугольников и вынесем общий множитель:
$$S_{BFC}+S_{AFD}=\frac12 BC\cdot h_1+\frac12 AD\cdot h_2=\frac12 BC(h_1+h_2)$$Подставляя равенство $h_1+h_2=h$, получаем:
$$S_{BFC}+S_{AFD}=\frac12 BC\cdot h=\frac12 S_{ABCD}$$Сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна $\frac12 S_{ABCD}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему сумма расстояний от точки $F$ до параллельных прямых $BC$ и $AD$ равна высоте параллелограмма.
Используют разные основания для вычисления площадей и теряют равенство $BC=AD$.
Забывают множитель $\frac12$ в формуле площади треугольника.