Решение: График функции и число пересечений
Постройте график функции $y=x|x|+|x|-3x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение по шагам
6 шаговРаскроем модули в зависимости от знака $x$. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому
$$y=x(-x)+(-x)-3x=-x^2-4x=4-(x+2)^2$$При $x\geqslant 0$ имеем $|x|=x$, поэтому
$$y=x^2+x-3x=x^2-2x=(x-1)^2-1$$График состоит из части параболы $y=4-(x+2)^2$ при $x<0$ и части параболы $y=(x-1)^2-1$ при $x\geqslant 0$. Первая парабола имеет вершину $(-2,4)$, вторая — вершину $(1,-1)$. Обе части соединяются в точке $(0,0)$.
Для $m=-1$ прямая $y=-1$ пересекает левую ветвь один раз и правую параболу в её вершине один раз. Всего две общие точки.
Для $m=4$ прямая $y=4$ касается левой ветви в точке $(-2,4)$ и пересекает правую ветвь один раз. Всего две общие точки.
При остальных значениях $m$ число пересечений отличается от двух: при $-1<m<4$ возникают три точки пересечения, а вне соответствующих диапазонов — одна или ноль.
$m=-1$ или $m=4$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не разделяют функцию на случаи $x<0$ и $x\geqslant 0$.
Считают точку $(0,0)$ дважды.
Забывают, что для $x<0$ используется только левая часть параболы $y=4-(x+2)^2$.
Принимают касание прямой $y=4$ с левой ветвью за отсутствие пересечения.