Решение: Радиус описанной окружности
В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если $BC=12$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим $AC$ на оси абсцисс: $A=(0,0)$, $C=(12,0)$, $B=(u,v)$. Высота из точки $B$ перпендикулярна $AC$, поэтому её основание имеет координаты $(u,0)$. Так как биссектриса делит высоту в отношении $5:4$, считая от точки $B$, точка их пересечения имеет координаты $D=\left(u,\dfrac{4v}{9}\right)$.
Расстояние от точки $D$ до стороны $AC$ равно $\dfrac{4v}{9}$. Так как $D$ лежит на биссектрисе угла $A$, расстояние от $D$ до стороны $AB$ такое же. Вычисление расстояния до прямой $AB$ даёт $\dfrac{5uv}{9AB}=\dfrac{4v}{9}$, откуда $AB=\dfrac{5u}{4}$.
Из равенства $AB^2=u^2+v^2$ получаем $u^2+v^2=\dfrac{25u^2}{16}$, поэтому $v=\dfrac{3u}{4}$.
Используем условие $BC=12$: $$(12-u)^2+v^2=144.$$ Подставляя $v=\dfrac{3u}{4}$, получаем $$(12-u)^2+\dfrac{9u^2}{16}=144,$$ откуда $u=\dfrac{384}{25}$ и $v=\dfrac{288}{25}$.
Тогда $AB=\dfrac{5u}{4}=\dfrac{96}{5}$, $AC=12$, а площадь треугольника равна $S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot v=\dfrac{20736}{25}$.
По формуле радиуса описанной окружности $R=\dfrac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}$ получаем $R=\dfrac{\frac{96}{5}\cdot12\cdot12}{4\cdot\frac{20736}{25}}=\dfrac{5}{6}$.
Радиус описанной окружности равен $\dfrac{5}{6}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно использовать отношение $5:4$: при отсчёте от точки $B$ координата точки пересечения от основания высоты равна $\frac{4}{9}v$.
Забыть, что точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.
Использовать формулу радиуса описанной окружности без деления на $4S$.