Вычисления с результатами измерений
Результат измерения — это не абсолютно точное число, а приближённое значение с ограниченной точностью. Поэтому при вычислениях важно учитывать не только сами числа, но и их единицы, разряд последней значащей цифры и возможную погрешность.
1. Что означает жазба результата измерения
Перед вычислениями нужно правильно читать жазба результата. На странице жазбалар результата измерения рассматривается общий вид \(x=(x_0\pm\Delta x)\), где \(x_0\) — полученное значение, а \(\Delta x\) — абсолютная погрешность. Например, жазба \(l=(12,4\pm0,1)\ \text{см}\) означает, что истинное значение длины считают находящимся примерно между \(12,3\) и \(12,5\ \text{см}\).
Измеренная величина — числовое значение физической величины, полученное прибором или вычисленное по результатам измерений. Последняя записанная цифра отражает точность результата, поэтому лишние цифры нельзя добавлять без основания.
Все слагаемые или множители сначала приводят к согласованным единицам. Например, \(25\ \text{см}=0,25\ \text{м}\), а \(3\ \text{мин}=180\ \text{с}\). Для представления очень больших и малых чисел удобно использовать стандартный вид числа.
2. Сложение и вычитание измеренных величин
При сложении и вычитании складывают значения величин, а их абсолютные погрешности в неблагоприятном случае складываются. На практике главное правило формулируют через разряды: результат записывают до того же десятичного разряда, до которого записано наименее точное слагаемое.
При сложении или вычитании измеренных величин сохраняют в ответе столько знаков после запятой, сколько их у величины с наименьшей точностью. Если известны погрешности, абсолютная погрешность суммы или разности не превосходит суммы абсолютных погрешностей.
Например, в выражении \(12,37+0,8\) число \(0,8\) известно только до десятых. Поэтому промежуточный результат \(13,17\) округляют до десятых: \(13,2\). Подробные случаи такого действия разобраны на странице сложения измеренных величин.
Как записать сумму \(4,26\ \text{м}+1,3\ \text{м}\) с учётом точности?
3. Умножение и деление
В произведении и частном точность удобнее оценивать относительной погрешностью. Относительная погрешность показывает, какую долю от значения составляет абсолютная погрешность: \(\varepsilon=\frac{\Delta x}{x}\). При умножении или делении относительные погрешности приблизительно складываются.
В произведении или частном обычно оставляют столько значащих цифр, сколько их у наименее точного множителя или делимого/делителя. Сначала считают без преждевременного округления, а округляют только окончательный результат.
Если величина возводится в степень, относительная погрешность умножается на показатель степени. Например, для площади квадрата \(S=a^2\) приближённо \(\varepsilon_S\approx2\varepsilon_a\). Поэтому измерение стороны особенно важно: ошибка стороны влияет на площадь сильнее.
Не следует механически считать количество знаков после запятой: при умножении оценивают именно значащие цифры. Число \(0,00450\) имеет три значащие цифры, а начальные нули их не образуют. Правила определения значащих цифр приведены на странице значащей цифры, а особые случаи нулей — на странице значащего нуля.
4. Разобранный пример
Измерены длина прямоугольника \(a=12,4\ \text{см}\) и ширина \(b=3,2\ \text{см}\). Найдём площадь с учётом точности.
Запись \(40\ \text{см}^2\) может быть неоднозначной: нуль после 4 способен быть значащим или просто обозначать округление до десятков. Яснее записать \(4,0\cdot10^1\ \text{см}^2\) — это две значащие цифры. Если требуется абсолютная погрешность, её находят из погрешностей исходных измерений, а не приписывают произвольно.
Сначала выпишите формулу и приведите единицы к одной системе. Затем подставьте числа, сохраняя несколько запасных цифр. После вычисления оцените точность результата и выполните одно окончательное округление.
5. Округление результата
Округление измеренных значений выполняют по обычному правилу: если первая отбрасываемая цифра меньше 5, последняя сохраняется; если она равна 5 или больше, последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. В измерениях часто оставляют одну значащую цифру в абсолютной погрешности, а значение округляют до того же разряда.
Например, если вычислено \(7,846\ \text{м}\), а результат должен быть известен до сотых, получаем \(7,85\ \text{м}\). Если же точность задана десятыми, правильная жазба — \(7,8\ \text{м}\). Нельзя писать \(7,846000\ \text{м}\): дополнительные нули создают видимость большей точности.
1) Складывают числа с разными единицами без перевода. 2) При сложении ориентируются на количество значащих цифр вместо десятичного разряда. 3) При умножении сохраняют одинаковое число знаков после запятой, хотя нужно учитывать значащие цифры. 4) Округляют каждый промежуточный результат и накапливают ошибку. 5) Приписывают нули, не подтверждённые прибором.
Если вычисление состоит из нескольких действий, промежуточные результаты лучше хранить с одной-двумя запасными цифрами. Окончательное округление выполняют в самом конце. Подробнее о последовательности действий в задачах можно прочитать на странице шешімдер тапсырма на измерения.
6. Выражения из нескольких действий
В сложном выражении действуют по обычному порядку операций, но точность контролируют на каждом этапе. Для суммы сначала выравнивают десятичные разряды, для произведения — число значащих цифр. Если измерения повторяли несколько раз, сначала можно найти среднее значение по правилам страницы среднего значения, а оценку разброса рассмотреть на странице повторных измерений.
Сложение и вычитание — ориентируемся на последний десятичный разряд. Умножение и деление — ориентируемся на число значащих цифр. Всегда проверяем единицы и округляем окончательный ответ.
Быстрая проверка
Главное
- Измерение является приближённым результатом и имеет ограниченную точность.
- Перед вычислениями нужно привести все величины к согласованным единицам.
- При сложении и вычитании сохраняют наименьший десятичный разряд.
- При умножении и делении учитывают число значащих цифр или относительные погрешности.
- Промежуточные значения не округляют слишком рано; окончательный ответ округляют в самом конце.