Умножение измеренных величин
При умножении измеренных величин сначала перемножают их измеренные значения, а затем складывают их относительные погрешности. Так находят результат измерения с учётом неточности исходных данных.
Пусть величины измерены как \(a\pm\Delta a\) и \(b\pm\Delta b\). Тогда при вычислениях с результатами измерений значение произведения находят по обычному правилу: \(z=ab\). Для оценки предельной погрешности используют относительные погрешности множителей.
После этого абсолютную погрешность произведения вычисляют так: \(\Delta z=z\cdot\frac{\Delta z}{z}\). Ответ записывают с учётом правил округления измеренных значений: обычно сначала округляют погрешность, а затем значение величины до того же разряда.
Пусть \(a=(2{,}0\pm0{,}1)\ \text{м}\), \(b=(3{,}0\pm0{,}1)\ \text{м}\). Произведение: \(z=2{,}0\cdot3{,}0=6{,}0\ \text{м}^2\). Относительная погрешность равна \(\frac{0{,}1}{2{,}0}+\frac{0{,}1}{3{,}0}\approx0{,}083\), или \(8{,}3\%\). Абсолютная погрешность: \(\Delta z\approx6{,}0\cdot0{,}083\approx0{,}5\ \text{м}^2\). Результат: \(z=(6{,}0\pm0{,}5)\ \text{м}^2\).
При умножении складывают относительные, а не абсолютные погрешности. Сложение абсолютных погрешностей относится к сложению и вычитанию измеренных величин, а не к их произведению.
Измерены \(a=(4{,}0\pm0{,}2)\) и \(b=(5{,}0\pm0{,}5)\). Чему равна относительная погрешность произведения?
Главное
- Произведение измеренных величин находят как \(z=ab\).
- При умножении относительные погрешности складывают: \(\frac{\Delta z}{z}=\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}\).
- Абсолютная погрешность произведения равна \(\Delta z=z\cdot\frac{\Delta z}{z}\); единица результата получается умножением единиц множителей.