Составление уравнения по условию
Условие задачи в математике — это описание известных и неизвестных величин, их связей и ограничений. Чтобы решить текстовую задачу, нужно выделить неизвестное, выразить через него остальные величины, составить уравнение по главной связи условия и проверить, соответствует ли полученная модель исходному тексту.
1. От текста к математической модели
Сначала прочитайте задачу целиком и определите, о каком процессе идёт речь: изменении цены, движении, работе, смеси, распределении или сравнении величин. Затем выпишите известные данные и найдите величину, которую требуется определить. Такой переход удобно выполнять с помощью краткой записи задачи, а неизвестное выбирать по правилам из страницы «Выбор неизвестного».
Математическая модель задачи — это запись величин и связей между ними с помощью обозначений, формул, уравнений или неравенств. Уравнение является моделью, если его решения соответствуют возможным ситуациям из условия.
- Назовите величину, которую нужно найти.
- Обозначьте её буквой, обычно \(x\).
- Определите единицы измерения и допустимые значения \(x\).
- Выразите через \(x\) другие величины, если это возможно.
- Запишите связь между величинами в виде уравнения.
- Решите уравнение и проверьте результат по смыслу условия.
Перед записью уравнения спросите себя: «Что означает левая часть? Что означает правая часть? Почему эти величины должны быть равны?» Если ответ нельзя объяснить словами, модель, вероятно, составлена неверно.
2. Как записывать проценты и изменения
Процент означает сотую долю величины. Поэтому \(p\% = \frac{p}{100}\). Если величина равна \(A\), то \(p\%\) от неё равны произведению \(A\) на \(\frac{p}{100}\). Важно различать «найти процент от числа» и «увеличить или уменьшить число на процент».
Например, если цена товара \(x\) рублей увеличилась на \(20\%\), новая цена равна \(1{,}2x\), а не \(x+20\). Если цена после скидки \(15\%\) стала равна \(1700\) рублей, уравнение имеет вид \(0{,}85x=1700\), где \(x\) — первоначальная цена.
Если две величины описывают один и тот же объект, результат или общий итог, их выражения приравнивают. Например, «расход по плану» и «фактический расход» сравниваются через условие задачи, а не автоматически. Равенство записывают только после объяснения, почему обе части обозначают одно и то же.
| Фраза в условии | Математическая запись |
|---|---|
| На \(a\) больше | \(x+a\) |
| На \(a\) меньше | \(x-a\) |
| В \(k\) раз больше | \(kx\) |
| В \(k\) раз меньше | \(\frac{x}{k}\) |
| На \(p\%\) больше | \(x\left(1+\frac{p}{100}\right)\) |
| На \(p\%\) меньше | \(x\left(1-\frac{p}{100}\right)\) |
Товар стоил \(x\) рублей. После скидки \(20\%\) его цена стала равна \(1200\) рублей. Какое уравнение составлено верно?
3. Разобранный пример: уравнение по условию
Задача. В магазине цену товара сначала увеличили на \(20\%\), а затем снизили на \(20\%\). После этого товар стал стоить \(1920\) рублей. Какова была первоначальная цена?
Нужно найти первоначальную цену. Обозначим её через \(x\) рублей. Все изменения выполняются последовательно: сначала к исходной цене применяется один множитель, затем к полученной цене — другой.
Ответ: первоначальная цена — \(2000\) рублей. Проверим: после увеличения получаем \(2000\cdot1{,}2=2400\), после снижения — \(2400\cdot0{,}8=1920\). Условие выполнено.
1. Считать, что увеличение на \(20\%\), а затем уменьшение на \(20\%\) возвращает исходную цену. На самом деле \(1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96\). 2. Применять вторые \(20\%\) к первоначальной цене, хотя по условию скидка относится к уже изменённой цене. 3. Путать «на \(20\%\)» и «на \(20\) рублей». 4. Записывать уравнение без указания, что обозначает \(x\).
4. Проверка соответствия модели условию
Решить уравнение недостаточно: нужно убедиться, что найденное число имеет смысл. Используйте проверку ответа по смыслу. Подставьте значение в исходные выражения и восстановите описанную ситуацию.
- Все величины имеют одинаковые или согласованные единицы измерения.
- Найденное значение удовлетворяет ограничениям: цена, масса, время и расстояние не отрицательны.
- Проценты применены к той величине, о которой говорится в условии.
- После подстановки получается именно указанная в задаче итоговая величина.
- Ответ записан с единицей измерения и отвечает на вопрос задачи.
В задачах, где несколько неизвестных связаны разными условиями, одного уравнения может быть недостаточно. Тогда используют систему уравнений в текстовых задачах. Если условие содержит несколько последовательных изменений, полезно записать их цепочкой: исходная величина → промежуточная → конечная.
Процентное изменение действует на ту величину, которая была непосредственно перед этим изменением. Поэтому последовательные проценты обычно перемножаются как коэффициенты, а не складываются.
Если в задаче встречаются пропорции или доли, можно дополнительно обратиться к страницам «Основное свойство пропорции» и «Таблица процентов». Не забывайте сверять единицы величин: переход между рублями и копейками, часами и минутами подробно разобран на странице «Единицы величин в текстовых задачах».
Алгоритм перед записью ответа
- Прочитайте вопрос задачи и определите искомую величину.
- Запишите, что означает \(x\).
- Переведите каждое изменение в выражение через \(x\).
- Составьте равенство, объяснив смысл обеих частей.
- Решите уравнение и отбросьте невозможные значения.
- Сделайте обратную проверку по исходному тексту.
Быстрый тест
Главное
- Выберите неизвестное и точно укажите, что означает \(x\).
- Переводите проценты в коэффициенты: увеличение на \(p\%\) — множитель \(1+\frac{p}{100}\), уменьшение — \(1-\frac{p}{100}\).
- Составляйте уравнение только после объяснения, почему его части обозначают одну и ту же величину.
- Последовательные изменения применяются по очереди к текущему значению.
- После решения обязательно подставьте ответ в условие и проверьте единицы, ограничения и смысл результата.