Алгоритм решения текстовой задачи

Текстовая задача описывает реальную или условную ситуацию словами, а решить её нужно с помощью математической модели. Надёжный алгоритм включает пять этапов: понять условие, выбрать неизвестное и модель, составить и решить математическую запись, проверить результат и оформить ответ.

1. Анализ условия

Сначала прочитайте задачу целиком, не пытаясь сразу выполнять вычисления. Определите, о чём говорится, какие величины известны, что требуется найти и как связаны величины между собой. При повторном чтении выделите числа и единицы измерения, а также слова, указывающие на изменение: «увеличили на», «уменьшили на», «на \(20\%\) больше», «всего», «осталось», «через». Подробный разбор самого условия особенно важен в задачах на проценты, движение и работу.

• Назовите величину, которую требуется найти.
• Запишите известные величины с единицами измерения.
• Определите, какие данные относятся друг к другу.
• Проверьте, не изменяются ли величины со временем или при переходе к другому объекту.
• Переведите величины в согласованные единицы.

Если задача содержит несколько этапов, удобно составить краткую запись или таблицу. Например, для движения используют величины «скорость — время — расстояние», а для процентов — «величина — процент — часть». Правильная таблица помогает увидеть модель и не перепутать, что именно принимается за \(100\%\).

2. Выбор неизвестного и математической модели

Неизвестной обозначают величину, через которую удобно выразить остальные. Это не всегда величина, о которой прямо спрашивают. Если после выбора неизвестного остальные данные выражаются коротко, решение обычно получается проще. Правила выбора подробно разобраны на странице выбор неизвестного.

Выбор модели зависит от сюжета задачи. В задачах на проценты используют часть от целого, изменение величины или последовательное изменение. В задачах на движение применяют связь расстояния, скорости и времени; при сложном движении полезны страницы средняя скорость, время в пути и расстояние между движущимися объектами. Если неизвестных несколько и условия независимы, составляют систему уравнений.

Если величина увеличилась на \(p\%\), она стала равна исходной величине, умноженной на \(1+\frac{p}{100}\). Если уменьшилась на \(p\%\), множитель равен \(1-\frac{p}{100}\). Процент всегда считают от величины, принятой за \(100\%\).

3. Решение математической модели

После составления уравнения или системы решайте их обычными алгебраическими преобразованиями. Записывайте действия последовательно и сохраняйте смысл промежуточных результатов. Если задача требует округления, сначала выполните точные вычисления, а округление сделайте в самом конце.

В этом примере важно не складывать изменения \(20\%\) и \(-20\%\). Второй процент берётся уже от изменённой цены, поэтому изменения перемножаются. Аналогично строят модели и для нескольких последовательных скидок или надбавок.

4. Проверка результата

Проверка состоит из двух частей. Алгебраическая проверка показывает, удовлетворяет ли найденное число уравнению. Смысловая проверка показывает, подходит ли результат реальной ситуации: цена, расстояние и время не могут быть отрицательными; количество предметов обычно является целым; процент не должен быть больше допустимого диапазона для данной величины.

После нахождения неизвестного подставьте его в исходные зависимости, а не только в последнее преобразованное уравнение. Подробно о сопоставлении ответа с условиями рассказано на странице проверка ответа по смыслу.

5. Оформление ответа

Запись решения должна позволять восстановить ход рассуждений. Укажите обозначение неизвестного, составленную модель, преобразования и ответ с единицей измерения. Если требуется несколько величин, перечислите их в том же порядке, что и в вопросе. Не оставляйте в финальной строке только число без пояснения.

1. Пусть \(x\) — ... с указанием единицы измерения.
2. По условию составим уравнение или систему.
3. Решим полученную модель.
4. Проверим допустимость и соответствие условию.
5. Ответ: ...

Для задач о нескольких условиях заранее определите, достаточно ли одного уравнения. Если неизвестных две или больше, обычно нужна система; соответствующий способ рассмотрен на странице система уравнений в текстовых задачах. В задачах о встречном движении отдельно проверьте направление движения и момент встречи: полезны страницы условия встречи и средняя скорость на участках пути.

Быстрый тест