Задание № 16 · ОГЭ

Задачи на медиану треугольника

Как применять свойства медианы и формулу её длины в вычислительных задачах

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Медиана помогает связать стороны треугольника, его середины и площади. В задачах ОГЭ и ЕГЭ важно уметь распознавать медиану на чертеже, использовать равенство отрезков, на которые она делит сторону, и правильно подставлять данные в формулу её длины.

Что нужно знать о медиане

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если в треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) проведена к стороне \(BC\), то точка \(M\) лежит на \(BC\), а отрезки \(BM\) и \(MC\) равны.

Медиана \(AM\) проведена к стороне \(BC\): \(BM=MC\).

Определение

Если \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\), то \(M\) — середина стороны \(BC\), поэтому \(BM=MC\) и \(BC=2BM=2MC\).

Основное свойство медианы

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади: \(S_{ABM}=S_{AMC}\). У этих треугольников равные высоты к общей прямой \(BC\) и равные основания \(BM\) и \(MC\).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой угла при вершине. Если задача содержит равные боковые стороны и медиану к основанию, это свойство часто позволяет получить прямоугольный треугольник и применить теорему Пифагора. О свойствах всех трёх медиан подробнее сказано на странице свойства медиан треугольника.

Формула длины медианы

Пусть в треугольнике \(ABC\) стороны \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), а медиана \(m_a\) проведена к стороне \(a\). Тогда её длина вычисляется по формуле:

\[m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\]1

Аналогично, для медиан к сторонам \(b\) и \(c\) используются формулы:

\[m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2},\qquad m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}\]2

Как не перепутать стороны

В формуле для \(m_a\) вычитается квадрат стороны \(a\), к которой проведена медиана. Два других квадрата складываются. Перед корнем обязательно стоит множитель \(\frac12\).

Если известны три стороны, алгоритм прост: определить сторону, к которой проведена медиана; обозначить её буквой, соответствующей индексу медианы; подставить длины в формулу; упростить выражение и проверить, что ответ положителен. Подробный вывод формулы можно посмотреть на странице длина медианы треугольника или в материале формула длины медианы треугольника.

Проверь себя

В треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) проведена к стороне \(BC\). Какая запись верна?

Разобранный пример: медиана по трём сторонам

В треугольнике стороны равны \(13\), \(14\) и \(15\). Найдём длину медианы, проведённой к стороне \(14\).

№

План решения

Сторона, к которой проведена медиана, должна занимать место \(a\) в формуле. Поэтому \(a=14\), а две остальные стороны можно взять как \(b=13\) и \(c=15\).

Выбираем формулу медианы к стороне \(a=14\).

\(\displaystyle m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\)

Подставляем \(b=13\), \(c=15\), \(a=14\).

\(\displaystyle m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot15^2-14^2}\)

Вычисляем квадраты и выполняем действия под корнем.

\(\displaystyle m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2\cdot169+2\cdot225-196}=\frac{1}{2}\sqrt{588}\)

Разлагаем число под корнем и сокращаем.

\(\displaystyle \sqrt{588}=\sqrt{196\cdot3}=14\sqrt3,\qquad m_a=7\sqrt3\)

Ответ: \(7\sqrt3\). Если требуется приблизительное значение, можно использовать \(\sqrt3\approx1{,}73\), тогда \(m_a\approx12{,}11\).

Задачи на свойства медианы

Во многих задачах длина медианы уже не нужна: достаточно использовать тот факт, что она делит противоположную сторону пополам. Например, если \(AM\) — медиана и \(BC=18\), то \(BM=MC=9\). Если \(BM=7\), то \(BC=14\).

Равенство площадей также даёт быстрый способ решения. Если площадь треугольника \(ABC\) равна \(40\), то площадь каждого из треугольников \(ABM\) и \(AMC\) равна \(20\). Поэтому при известной площади одной части площадь всего треугольника в два раза больше.

Приём для чертежа

Сразу отметьте одинаковые отрезки на противоположной стороне: \(BM=MC\). Если в условии дана длина всей стороны, разделите её на 2; если дан один получившийся отрезок, умножьте его на 2.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию образует два равных прямоугольных треугольника. Например, при боковой стороне \(13\) и основании \(10\) половина основания равна \(5\). Медиана является высотой, поэтому её длина равна \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) по теореме Пифагора. При необходимости повторите тригонометрию в прямоугольном треугольнике.

Полезно помнить и связь медианы с площадью. Если известны медиана \(m_a\) и сторона \(a\), угол между ними или высота, можно рассматривать медиану как основание одного из двух равновеликих треугольников. В задачах, где требуется именно площадь, могут пригодиться высота треугольника и площадь.

Типовой алгоритм решения

Прочитайте, из какой вершины проведена медиана и к какой стороне она направлена.
Если известна вся противоположная сторона, найдите половину; если известна половина, восстановите всю сторону.
Если даны три стороны, выберите формулу медианы к нужной стороне.
Подставьте числа, внимательно возведите их в квадрат и упростите корень.
Проверьте ответ: длина медианы должна быть положительной и не должна быть слишком большой по сравнению с суммой двух сторон.

Частые ошибки

1. Вычитают квадрат не той стороны: в формуле \(m_a\) вычитается именно \(a^2\). 2. Забывают множитель \(\frac12\). 3. Считают, что любая медиана является высотой или биссектрисой — это верно не для любого треугольника, а, например, для медианы к основанию равнобедренного треугольника. 4. При заданной длине \(BC\) записывают \(BM=BC\), хотя правильно \(BM=\frac{BC}{2}\).

Проверка готовности

Быстрый тест по теме

Мини-тест

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · Определение медианы

В треугольнике \(ABC\) \(AM\) — медиана, \(BC=22\). Чему равно \(BM\)?

Главное за минуту

Главное

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны: \(BM=MC\).
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.
Для медианы к стороне \(a\) используется формула \(m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\).
В формуле вычитается квадрат стороны, к которой проведена медиана.
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой.