Свойства медиан треугольника
Медианы связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон. Их главное свойство: все три медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины.
1. Что такое медиана
Сначала полезно повторить понятия из страницы элементы треугольника. Пусть дан треугольник \(ABC\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\), то есть \(BM=MC\). Отрезок \(AM\) называется медианой, проведённой из вершины \(A\).
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике можно провести три медианы: \(AM\), \(BN\) и \(CK\).
Каждая медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями. Например, треугольники \(ABM\) и \(ACM\) имеют общую высоту из вершины \(A\), а основания \(BM\) и \(MC\) равны. Поэтому их площади равны.
2. Точка пересечения медиан
Проведём все три медианы треугольника. Они не просто пересекаются попарно: все три проходят через одну и ту же точку. Эта точка называется центроидом, или точкой пересечения медиан, и обычно обозначается буквой \(G\).
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины: больший отрезок расположен между вершиной и точкой пересечения.
Если \(AM\) — медиана, а \(G\) — точка пересечения медиан, то \(AG=2GM\). Вся медиана состоит из трёх равных условных частей: отрезок от вершины до \(G\) содержит две части, а от \(G\) до середины стороны — одну.
Отсюда удобно находить любой отрезок. Если известна вся медиана \(AM=m\), то \(AG=\frac23m\), а \(GM=\frac13m\). Если известен \(AG\), то \(GM=\frac12AG\), а \(AM=\frac32AG\).
| Известно | Найти | Формула |
|---|---|---|
| Вся медиана \(AM=m\) | \(AG\) | \(AG=\frac23m\) |
| Вся медиана \(AM=m\) | \(GM\) | \(GM=\frac13m\) |
| \(AG=x\) | \(GM\) | \(GM=\frac12x\) |
| \(GM=x\) | \(AM\) | \(AM=3x\) |
| \(AG=x\) | \(AM\) | \(AM=\frac32x\) |
Медиана \(AM\) равна \(18\). Чему равен отрезок \(AG\), если \(G\) — точка пересечения медиан?
3. Как решать задачи на отношения
Большинство задач сводится к записи отношения \(AG:GM=2:1\). Удобно обозначить одну часть буквой \(x\). Тогда \(GM=x\), \(AG=2x\), а вся медиана \(AM=3x\). После этого составляется простое уравнение по условию.
В треугольнике \(ABC\) медианы пересекаются в точке \(G\). Известно, что \(AG=10\). Найдите \(AM\) и \(GM\), если \(AM\) — медиана.
Если дан отрезок от вершины до точки пересечения медиан, умножьте его на \(\frac32\), чтобы получить всю медиану. Если дана часть от точки пересечения до стороны, умножьте её на \(3\), чтобы получить всю медиану.
Например, если \(GM=7\), то \(AG=14\), а \(AM=21\). Если \(AG=14\), то \(GM=7\), а \(AM=21\). Важно определить, какой именно отрезок указан в условии.
4. Координатный способ и центр тяжести
В задачах с координатами точку пересечения медиан можно найти по координатам вершин. Если \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\), \(C(x_3,y_3)\), то координаты точки \(G\) равны среднему арифметическому координат вершин.
Это свойство позволяет быстро решать задачи на координатной плоскости. Сначала складывают отдельно абсциссы и отдельно ординаты трёх вершин, затем каждую сумму делят на \(3\).
Точка пересечения медиан имеет координаты, равные средним арифметическим координат вершин треугольника. Формула работает для любого треугольника, в том числе тупоугольного и прямоугольного.
Медианы связаны и с площадями: точка \(G\) разбивает треугольник на шесть малых треугольников равной площади, если провести все три медианы. Это полезно в задачах, где требуется сравнить площади частей.
5. Связь с другими свойствами треугольника
Медиана — один из трёх основных элементов треугольника. Не следует путать её с высотой и биссектрисой: высота перпендикулярна противоположной стороне, а биссектриса делит угол пополам. В общем треугольнике эти три отрезка обычно различны.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой. Это следует из свойств равнобедренного треугольника. В равностороннем треугольнике все медианы имеют одинаковую длину и также являются высотами и биссектрисами.
1. Нельзя считать точку пересечения медиан серединой каждой медианы: верно отношение \(2:1\), а не \(1:1\). 2. Больший отрезок всегда лежит от вершины до точки пересечения. 3. Медиана делит пополам сторону, но не обязана делить пополам угол или быть перпендикулярной стороне. 4. В формуле координат центроида нужно делить суммы на \(3\), а не на \(2\).
Три ключевых факта: медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны; три медианы пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую медиану в отношении \(2:1\) от вершины.
Быстрая проверка
Проверьте готовность к заданиям
Главное
- Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
- Три медианы пересекаются в одной точке \(G\).
- Каждая медиана делится точкой \(G\) в отношении \(2:1\) от вершины: \(AG=\frac23AM\), \(GM=\frac13AM\).
- Координаты точки пересечения медиан — средние арифметические координат трёх вершин.
- В равнобедренном треугольнике медиана к основанию одновременно является высотой и биссектрисой.
- Для задач на площади используйте равенство площадей треугольников, имеющих равные основания или общую высоту.