Задачи на высоты треугольника

Высота треугольника связывает перпендикулярность, длины сторон, площадь и углы. В задачах важно правильно выбрать сторону-основание, понять, где находится основание высоты, и применить формулу площади или свойства прямоугольного треугольника.

Что называют высотой треугольника

Сначала повторим определение из страницы о высоте треугольника. Пусть дан треугольник \(ABC\). Высота, проведённая из вершины \(A\), — это перпендикулярный отрезок \(AH\) к прямой \(BC\), где точка \(H\) лежит на прямой \(BC\). Поэтому \(AH\perp BC\), а угол \(AHB\) и угол \(AHC\) являются прямыми.

В обозначениях часто пишут \(h_a\) — высота к стороне \(a\), \(h_b\) — к стороне \(b\), \(h_c\) — к стороне \(c\). Например, если \(a=BC\), то высота \(h_a\) проведена из вершины \(A\).

Основные связи: высота и площадь

Главный приём большинства задач — выразить площадь через основание и соответствующую ему высоту. Подробные свойства высот удобно повторить на странице свойства высот треугольника, а формулы площади — на странице площадь треугольника.

Из этой формулы можно найти любую величину. Если известны площадь и основание, высота равна \(h_a=\frac{2S}{a}\). Если известны площадь и высота, сторона равна \(a=\frac{2S}{h_a}\). Все длины должны быть выражены в одинаковых единицах.

Перпендикулярность и прямоугольные треугольники

Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника, если её основание лежит на стороне. Тогда можно использовать свойства прямоугольного треугольника: теорему Пифагора и определения синуса, косинуса и тангенса.

Если известны сторона треугольника и её проекция на основание, высоту можно найти по Пифагору. В равнобедренном треугольнике высота к основанию одновременно является медианой и биссектрисой. В задачах не следует автоматически считать высоту медианой: это верно не для любого треугольника.

Разобранный пример: высота и площадь

Так как \(AH\perp BC\), треугольник \(ABH\) прямоугольный с гипотенузой \(AB\). В нём известны \(AB\) и \(BH\), поэтому высота находится по теореме Пифагора.

Проверка полезна: в прямоугольном треугольнике со сторонами \(5\), \(12\), \(13\) равенство \(5^2+12^2=13^2\) выполняется. Единицы площади должны быть квадратными: например, \(84\text{ см}^2\).

Как находить углы по высоте

Если высота образует с частью стороны прямоугольный треугольник, угол можно найти по отношению катетов. Для острого угла \(\alpha\) в прямоугольном треугольнике тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Например, если в треугольнике \(ABH\) \(AH=6\) и \(BH=8\), то для угла \(B\) получаем \(\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{6}{8}=\frac34\). Угол можно определить по таблице или с помощью обратной функции калькулятора, если это разрешено условием. Иногда угол находится без вычислений: если катеты равны, то острые углы равны \(45^\circ\).

План решения задач на высоты

1. Сделайте чертёж и отметьте прямой угол у основания высоты.
2. Определите, какая сторона является основанием и к какой стороне проведена высота.
3. Если есть прямоугольный треугольник, выберите теорему Пифагора или тригонометрическое отношение.
4. Для площади примените \(S=\frac12ah_a\) и проверьте соответствие основания и высоты.
5. Проверьте единицы измерения, знак и разумность ответа: высота не может быть отрицательной.

В задачах, где одновременно встречаются медиана, биссектриса и высота, не смешивайте их свойства. Сравнить эти линии и распознать особые случаи помогают страницы задачи на медиану треугольника и задачи на биссектрису треугольника. Для задач, где высота непосредственно связана с площадью, полезно обратиться к связи высоты и площади.