Свойства функции
Исследование функции помогает по формуле восстановить её основные свойства и построить эскиз графика. Перед решением заданий область определения функции полезно повторить отдельно: здесь собран единый алгоритм, включающий область определения, нули, промежутки знакопостоянства, монотонность функции и точки экстремума.
1. Область определения и значения функции
Область определения \(D(f)\) — множество всех допустимых значений аргумента \(x\), при которых выражение \(f(x)\) имеет смысл. При исследовании функции сначала находят именно её: все дальнейшие рассуждения относятся только к \(x\in D(f)\).
Нельзя делить на ноль; выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным; аргумент логарифма должен быть положительным; знаменатель дроби под корнем также не может быть равен нулю. Для тригонометрических функций учитывают их естественные ограничения, например \(\tan x\) не существует при \(\cos x=0\).
Множество значений \(E(f)\) состоит из всех чисел \(y\), которые принимает функция. Его часто находят по графику, преобразованиям формулы или анализу минимума и максимума. Например, для \(y=(x-2)^2+1\) имеем \(E(f)=[1;+\infty)\), потому что квадрат неотрицателен.
Если в формуле есть несколько ограничений, запишите их отдельно, а затем пересеките полученные множества. Не забывайте проверять концы промежутков: знак \(\ge\) включает точку, а знак \(>\) — исключает.
2. Нули, знак и симметрия графика
Нули функции — значения \(x\), при которых \(f(x)=0\). На графике это абсциссы точек пересечения с осью \(Ox\). Чтобы определить знак функции, отмечают на числовой прямой нули и точки, исключённые из области определения. Эти точки разбивают область определения на промежутки; на каждом из них знак обычно постоянен.
1) Найдите нули функции. 2) Отметьте точки, где функция не определена. 3) Разбейте числовую прямую этими точками. 4) Выберите по одной пробной точке из каждого промежутка и вычислите знак \(f(x)\). Для произведения и дроби знак можно определить по знакам множителей.
Например, для \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}\) критические точки: \(x=1\) — нуль, \(x=-2\) — исключённая точка. Знак функции: положительный на \((-\infty;-2)\) и \((1;+\infty)\), отрицательный на \((-2;1)\).
На каких промежутках функция \(f(x)=\frac{x-3}{x+1}\) положительна?
Чётность и нечётность функции дают дополнительную информацию о графике. Если \(f(-x)=f(x)\), график симметричен относительно оси \(Oy\); если \(f(-x)=-f(x)\), он симметричен относительно начала координат. Для проверки сначала убедитесь, что область определения симметрична относительно нуля.
3. Монотонность и критические точки
Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Она убывает, если при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Промежутки монотонности записывают внутри области определения и разделяют точками, где меняется характер поведения.
Критическая точка — внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует. В школьных заданиях для многочленов и рациональных функций часто достаточно решить уравнение \(f'(x)=0\) и добавить точки, где производная не существует, если сама функция там определена.
Если на промежутке \(f'(x)>0\), функция возрастает; если \(f'(x)<0\), функция убывает. Для полного исследования составляют таблицу знаков производной, учитывая область определения.
Если производная меняет знак с «плюса» на «минус», функция переходит от возрастания к убыванию и имеет точку максимума. При переходе с «минуса» на «плюс» получается точка минимума. Само равенство \(f'(x_0)=0\) ещё не гарантирует экстремум: знак производной должен измениться.
4. Экстремумы и полный алгоритм исследования
Экстремум — локальное наибольшее или наименьшее значение функции в окрестности точки. Точка экстремума — значение аргумента, в котором это происходит. Не следует путать локальный максимум с наибольшим значением на всей области определения: глобальный максимум требует сравнения всех подходящих значений.
- Найти область определения \(D(f)\).
- Упростить формулу, если это возможно, не потеряв ограничений исходной функции.
- Найти нули и определить знак функции.
- Проверить чётность, нечётность или периодичность, если это сокращает исследование.
- Найти производную и критические точки.
- Составить таблицу знаков производной и записать промежутки возрастания и убывания.
- Определить экстремумы и вычислить значения функции в них.
- Нанести ключевые точки и построить эскиз графика.
Не включайте в область определения нули знаменателя. Не называйте корень уравнения \(f'(x)=0\) экстремумом без проверки знака производной. Не записывайте промежутки монотонности через точку, где функция не существует. При нахождении наибольшего или наименьшего значения учитывайте концы заданного отрезка.
Исследуем функцию \(f(x)=x^3-3x^2+2\) и найдём промежутки монотонности и экстремумы.
Итак, точка максимума имеет координаты \((0;2)\), а точка минимума — \((2;-2)\). Для эскиза также можно найти нули уравнением \(x^3-3x^2+2=0\) или отметить только известные точки, если требуется определить характер графика.
Производная отвечает за направление движения графика: знак «плюс» — подъём, знак «минус» — спуск. Смена \(+\to-\) даёт максимум, смена \(-\to+\) — минимум.
5. Как читать свойства по графику
По готовому графику можно быстро определить область определения как множество абсцисс изображённых точек, а множество значений — как множество их ординат. Нули находятся на пересечении с осью \(Ox\), промежутки положительности — выше этой оси, отрицательности — ниже. Возрастание читают слева направо: график поднимается — функция возрастает, опускается — убывает.
| Свойство | Что искать на графике |
|---|---|
| Область определения | Проекция графика на ось \(Ox\) |
| Множество значений | Проекция графика на ось \(Oy\) |
| Нули | Точки пересечения с \(Ox\) |
| Максимум и минимум | Самые высокие и низкие точки на рассматриваемом промежутке |
| Промежутки монотонности | Направление движения графика слева направо |
Для построения графика по исследованию удобно отметить нули, точки экстремума и пересечение с осью \(Oy\), а затем соединить их с учётом монотонности. Если функция дробная, дополнительно учитывают вертикальные асимптоты; если функция ограничена, полезно сравнить её значения с границами диапазона. О связанных свойствах см. ограниченную функцию и график функции.
Проверь себя
Главное
- Начинайте исследование с области определения и не забывайте об исключённых точках.
- Нули и точки разрыва разбивают ось на промежутки, где определяют знак функции.
- Знак производной задаёт монотонность: \(f'>0\) — возрастание, \(f'<0\) — убывание.
- Экстремум подтверждается сменой знака производной: \(+\to-\) — максимум, \(-\to+\) — минимум.
- Для эскиза графика используйте нули, экстремумы, симметрию, асимптоты и направление монотонности.