Область определения функции
Область определения функции — это все значения аргумента, при которых формула функции имеет смысл. Чтобы её найти, нужно определить, какие значения \(x\) нельзя подставлять в формулу, а затем исключить их.
В понятии функции область определения — это множество, из которого берутся аргументы. Оно задаётся условием существования формулы. Если ограничений нет, область определения состоит из всех действительных чисел: \(D(f)=\mathbb{R}\).
Как находить область определения
Проверьте формулу и запишите ограничения:
- знаменатель дроби не равен нулю: \(B(x)\ne0\);
- подкоренное выражение корня чётной степени неотрицательно: \(A(x)\ge0\);
- аргумент логарифма положителен: \(A(x)>0\);
- для некоторых других функций учитываются специальные ограничения, указанные в формуле.
Найдём область определения функции \(y=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}\). Из условия корня получаем \(x+2\ge0\), то есть \(x\ge-2\). Знаменатель не должен обращаться в ноль: \(x\ne1\). Поэтому \(D(f)=[-2;1)\cup(1;+\infty)\). В множестве значений функции рассматривают уже возможные значения \(y\), а не допустимые значения \(x\).
Область определения отвечает на вопрос «какие \(x\) можно подставить?», а значение функции — какое число \(y\) получится при конкретном допустимом \(x\). Точка, исключённая из области определения, не входит в ответ, даже если после сокращения выражение выглядит проще.
Какова область определения функции \(y=\frac{1}{x+3}\)?
Главное
- Область определения — все допустимые значения аргумента \(x\).
- Для дроби исключают нули знаменателя, для корня чётной степени требуют неотрицательность подкоренного выражения.
- Всегда записывайте ответ множеством или промежутками и не путайте его с множеством значений функции.