Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональная функция задаётся отношением двух многочленов. Чтобы построить её график, последовательно находят область определения, нули, точки пересечения с осями, асимптоты, промежутки знакопостоянства и несколько дополнительных точек. Такой алгоритм помогает решать задания на график зависимости и исследование функции.

Что такое дробно-рациональная функция

Дробно-рациональная функция имеет вид \(y=\frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) — многочлены, а \(Q(x)\ne 0\). Простейший пример — функция \(y=\frac{1}{x}\). Более сложные выражения часто сначала упрощают разложением числителя и знаменателя на множители.

Первый шаг — найти область определения функции. Из неё исключают все значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю. Например, для \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}\) запрещено \(x=3\), поэтому \(D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)\).

Если одинаковый множитель есть в числителе и знаменателе, его можно сократить, но исключённое значение всё равно остаётся вне области определения. Например, \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1\) при \(x\ne2\). График — прямая \(y=x+1\) с выколотой точкой при \(x=2\).

Нули и пересечения с осями

Нуль функции — значение аргумента, при котором функция равна нулю. Для дроби значение \(f(x)\) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Точки пересечения с осью \(Ox\) имеют вид \((x_0;0)\), где \(x_0\) — допустимый нуль функции. Пересечение с осью \(Oy\) находят подстановкой \(x=0\), если \(0\in D(f)\): точка имеет координаты \((0;f(0))\).

Асимптоты и поведение графика

Асимптота графика — прямая, к которой график приближается при стремлении аргумента к определённому значению или к бесконечности.

Вертикальная асимптота обычно возникает в точке \(x=a\), где знаменатель равен нулю после сокращения общих множителей. Если числитель в этой точке не равен нулю, то прямая \(x=a\) — вертикальная асимптота. Если общий множитель сократился, в точке может быть только устранимый разрыв.

Поведение при больших по модулю \(x\) зависит от степеней числителя и знаменателя. Если степени одинаковы, горизонтальная асимптота равна отношению старших коэффициентов. Если степень числителя меньше степени знаменателя, горизонтальная асимптота — \(y=0\). Если степень числителя на единицу больше, выполняют деление многочленов: частное линейное выражение задаёт наклонную асимптоту.

Алгоритм построения графика

1. Разложите числитель и знаменатель на множители, сократите общие множители, но сохраните запрещённые значения.
2. Найдите область определения: решите уравнение \(Q(x)=0\) и исключите его корни.
3. Найдите нули функции и точку пересечения с осью \(Oy\), если она существует.
4. Определите вертикальные асимптоты и горизонтальную или наклонную асимптоту.
5. Разбейте числовую прямую асимптотами и нулями на промежутки; определите знак функции на каждом промежутке.
6. Составьте таблицу нескольких значений и нанесите точки. Проверьте, что график приближается к асимптотам и не пересекает запрещённые вертикальные прямые.

Разобранный пример

Итак, график имеет две ветви, разделённые вертикальной асимптотой \(x=1\). При больших по модулю \(x\) обе ветви приближаются к прямой \(y=2\). Левая ветвь проходит через точку \(\left(-\frac12;0\right)\) и точку \((0;-1)\), правая расположена выше оси \(Ox\).

Частые ошибки

Связь с исследованием функции

Для полного исследования используют исследование функции: определяют промежутки знакопостоянства, монотонность и, если требуется, точки экстремума. В задачах базового уровня обычно достаточно области определения, нулей, асимптот и нескольких точек. Не смешивайте дробно-рациональную функцию с степенной функцией: одинаковая форма графика ещё не означает одинаковые свойства.