ЕГЭОГЭ
Задание № 8 · ЕГЭ

Точка экстремума

Как распознать локальный максимум и минимум функции
3 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Точка экстремума — это точка области определения функции, в которой функция достигает локального максимума или локального минимума по сравнению с близкими к ней точками.

Точка экстремумаСлово «экстремум» происходит от латинского extremum — «крайнее». Оно обозначает наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки.
Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(y=f(x)\), если для всех достаточно близких к \(x_0\) значений \(x\) выполняется \(f(x)\le f(x_0)\). Точка \(x_0\) называется точкой локального минимума, если \(f(x)\ge f(x_0)\). Точки локального максимума и локального минимума вместе называют точками экстремума.

Как найти точку экстремума

На графике точка локального максимума выглядит как вершина «горки», а точка локального минимума — как дно «впадины». При исследовании функции проверяют, как меняется её поведение слева и справа от подозрительной точки: переход от возрастания к убыванию указывает на максимум, а переход от убывания к возрастанию — на минимум. Подробнее общий порядок действий рассматривается в статье исследование функции, а само понятие входит в экстремум функции.

\[x_0\text{ — точка экстремума, если около }x_0\text{ значение }f(x_0)\text{ больше или меньше соседних значений }f(x).\]
№
Пример

Рассмотрим функцию \(f(x)=x^2\). При \(x=0\) она принимает значение \(f(0)=0\), а при любом близком \(x\ne0\) значение \(x^2>0\). Поэтому \(x=0\) — точка локального минимума, а точка графика \((0;0)\) — точка минимума функции.

!
Не путайте

Точка экстремума — это значение аргумента \(x_0\), например \(0\). Значение экстремума — это число \(f(x_0)\), например \(0\). Точка графика записывается парой \((x_0;f(x_0))\). Кроме того, локальный максимум или минимум не обязательно является самым большим или самым маленьким значением функции на всей области определения.

Проверьте себя

Для функции \(f(x)=-(x-2)^2+3\) какая точка является точкой локального максимума?

Если функция задана формулой, для поиска кандидатов на экстремум часто используют производную: внутри области определения точки экстремума могут находиться там, где \(f'(x)=0\) или производная не существует. Но одного такого условия недостаточно: необходимо проверить изменение функции слева и справа. Например, у функции \(f(x)=x^3\) производная равна нулю при \(x=0\), однако экстремума там нет, потому что функция продолжает возрастать.

Главное за минуту

Главное

  • Точка экстремума — аргумент, при котором функция имеет локальный максимум или минимум.
  • Переход от возрастания к убыванию означает максимум, а от убывания к возрастанию — минимум.
  • Необходимо различать точку экстремума \(x_0\), значение экстремума \(f(x_0)\) и точку графика \((x_0;f(x_0))\).