Задание № 11 · ОГЭ

Экстремум функции

Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Экстремум функции — это её наибольшее или наименьшее значение на заданном промежутке. Максимум показывает, где функция достигает самого большого значения, а минимум — самого маленького.

Экстремум функции

Пусть функция \(y=f(x)\) задана на промежутке \(I\). Число \(M\) называется максимумом функции на промежутке \(I\), если для любого \(x\in I\) выполняется \(f(x)\le M\) и при некотором \(x_0\in I\) выполняется \(f(x_0)=M\). Число \(m\) называется минимумом функции на промежутке \(I\), если для любого \(x\in I\) выполняется \(f(x)\ge m\) и при некотором \(x_0\in I\) выполняется \(f(x_0)=m\). Точка \(x_0\) называется точкой, в которой функция достигает максимума или минимума; подробнее — в статье точка экстремума.

Как находят экстремум

Чтобы найти экстремум по графику, сравнивают значения функции на всём указанном промежутке. Для этого учитывают вершины графика, точки изменения возрастания и убывания, а также концы промежутка, если они входят в него. Такой анализ является частью исследования функции.

\[f(x)\le f(x_0)\quad\text{для всех }x\in I\ \Longrightarrow\ f(x_0)\text{ — максимум на }I;\qquad f(x)\ge f(x_0)\quad\text{для всех }x\in I\ \Longrightarrow\ f(x_0)\text{ — минимум на }I.\]

№

Пример

Для функции \(f(x)=x^2\) на отрезке \([-2;3]\) минимум равен \(0\): он достигается при \(x=0\). Максимум равен \(9\): он достигается при \(x=3\), потому что \(f(3)=9\) больше, чем \(f(-2)=4\).

Не путайте

Максимум или минимум на промежутке сравнивает все значения функции на этом промежутке. Локальный экстремум сравнивает значения лишь вблизи точки. Поэтому вершина графика может быть локальным максимумом, но не самым большим значением на выбранном широком промежутке.

Проверьте себя

Каково наименьшее значение функции \(f(x)=(x-2)^2+1\) на отрезке \([0;4]\)?

Главное за минуту

Главное

Максимум — наибольшее, а минимум — наименьшее значение функции на заданном промежутке.
При поиске экстремума сравнивают значения во всех важных точках, включая концы промежутка.
Экстремум на промежутке и локальный экстремум — не одно и то же.