Убывающая функция
Убывающая функция — это функция, значения которой не увеличиваются при движении слева направо по оси \(x\): большему аргументу соответствует меньшее значение функции.
Убывание рассматривают не вообще, а на указанном промежутке. Одна и та же функция может убывать на одной части области определения и возрастать на другой. Например, график функции можно изучать по направлению слева направо: если его точки постепенно опускаются, функция убывает. График функции помогает увидеть это свойство.
Рассмотрим \(f(x)=5-2x\). Если \(x_1<x_2\), то \(-2x_1>-2x_2\), поэтому \(5-2x_1>5-2x_2\). Значит, функция \(f(x)=5-2x\) убывает на всей числовой прямой.
Если функция дифференцируема на промежутке и её производная на этом промежутке отрицательна: \(f'(x)<0\), то функция убывает на данном промежутке. Если \(f'(x)\le 0\), то функция является невозрастающей: её значения не увеличиваются, но могут оставаться одинаковыми.
Убывающая функция требует строгого неравенства \(f(x_1)>f(x_2)\). У монотонности функции есть разные виды: строгие и нестрогие. Например, постоянная функция невозрастает, но не является убывающей.
На каком промежутке функция \(f(x)=-x^2\) убывает?
Главное
- Функция убывает на промежутке, если из \(x_1<x_2\) следует \(f(x_1)>f(x_2)\).
- Достаточный признак убывания: \(f'(x)<0\) на всём промежутке.
- Неравенство \(f'(x)\le0\) даёт невозрастание, а не обязательно строгое убывание.