ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задание № 12 · ЕГЭ

Монотонность функции

Как по формуле, таблице или графику определить промежутки возрастания, убывания и постоянства функции
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Монотонность функции показывает, как изменяется значение функции при движении слева направо по области определения: растёт ли оно, уменьшается или остаётся постоянным. На этой странице собраны определения, признаки и алгоритм исследования промежутков монотонности; для чтения раньше полезно повторить возрастание функции и убывание функции.

Что называют монотонностью

Пусть функция \(y=f(x)\) задана на промежутке \(I\). Чтобы сравнить значения функции, берут любые два числа \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка и считают, что \(x_1<x_2\). Важно: сравниваются именно аргументы слева направо, а затем значения \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\).

D
Возрастающая функция

Функция возрастает на промежутке \(I\), если для любых \(x_1,x_2\in I\) из условия \(x_1<x_2\) следует \(f(x_1)<f(x_2)\). При увеличении аргумента значение функции увеличивается.

\[x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)<f(x_2)\]
D
Убывающая функция

Функция убывает на промежутке \(I\), если для любых \(x_1,x_2\in I\) из условия \(x_1<x_2\) следует \(f(x_1)>f(x_2)\). При увеличении аргумента значение функции уменьшается.

\[x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)>f(x_2)\]
D
Постоянная функция

Функция постоянна на промежутке \(I\), если для любых \(x_1,x_2\in I\) выполняется \(f(x_1)=f(x_2)\). Её график на этом промежутке — горизонтальный отрезок или часть горизонтальной прямой.

\[f(x)=C,\quad x\in I\]

Термин «монотонная» часто используют как общее название функций, которые на выбранном промежутке только возрастают, только убывают или остаются постоянными. Функция может быть монотонной на одном промежутке и немонотонной на всей области определения.

Как читать монотонность по графику

На графике функции мысленно двигайтесь слева направо. Если точки графика поднимаются, функция возрастает; если опускаются — убывает; если идут горизонтально — постоянна. Границы промежутков записывают в виде интервалов, полуинтервалов или отрезков в зависимости от условия задачи.

−2−1.5−1−0.50.511.52−3−2−1123xy0y = x³ − 3·x
График \(y=x^3-3x\): функция возрастает на \((-\infty,-1]\) и \([1,+\infty)\), убывает на \([-1,1]\).
Приём чтения графика

Не путайте направление движения по графику с направлением оси \(Oy\). Всегда читайте график слева направо, то есть при увеличении \(x\). Точка поворота сама по себе не является промежутком монотонности: она только разделяет соседние промежутки.

Алгоритм исследования по формуле

Для элементарных функций сначала определите область определения, затем найдите точки, в которых может измениться характер поведения. Это могут быть вершины параболы, нули производной, точки разрыва или границы отдельных формул. После этого промежутки проверяют отдельно.

  1. Найдите область определения функции.
  2. Отметьте особые точки: границы области определения, точки разрыва, вершины, критические точки.
  3. Разделите область определения этими точками на промежутки.
  4. Определите направление изменения на каждом промежутке: по свойствам формулы, таблице значений, графику или знаку производной.
  5. Запишите ответ с правильными скобками и объедините соседние промежутки, если направление изменения одинаково.
T
Линейная функция

Для функции \(y=kx+b\) знак коэффициента \(k\) полностью определяет монотонность: при \(k>0\) функция возрастает на всей области определения, при \(k<0\) убывает, а при \(k=0\) постоянна.

\[y=kx+b:\quad k>0\Rightarrow\text{возрастает};\quad k<0\Rightarrow\text{убывает};\quad k=0\Rightarrow\text{постоянна}\]
T
Квадратичная функция

Для \(y=ax^2+bx+c\), где \(a\ne0\), абсцисса вершины равна \(x_0=-\frac{b}{2a}\). Если \(a>0\), парабола убывает слева от вершины и возрастает справа. Если \(a<0\), парабола возрастает слева и убывает справа.

\[x_0=-\frac{b}{2a}\]
Микропроверка

На каком промежутке функция \(y=(x-3)^2\) убывает?

Разобранный пример

№
Найти промежутки монотонности

Исследуем функцию \(f(x)=-2x^2+8x-3\). Требуется определить, где она возрастает и убывает.

1
Коэффициент при \(x^2\) отрицателен, поэтому парабола направлена ветвями вниз. Найдём абсциссу вершины.
\(\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=2\)
2
Вершина делит область определения на два промежутка: слева от \(x=2\) и справа от \(x=2\). Для параболы с \(a<0\) функция возрастает слева от вершины.
\(\displaystyle x<2\Rightarrow f(x)\text{ возрастает}\)
3
Справа от вершины ветвь направлена вниз, поэтому значения функции уменьшаются.
\(\displaystyle x>2\Rightarrow f(x)\text{ убывает}\)
4
Точка \(x=2\) входит в оба описания как граница промежутков в школьной записи ответа.
\(\displaystyle \boxed{f\text{ возрастает на }(-\infty,2];\quad f\text{ убывает на }[2,+\infty)}\)

Проверить результат можно по двум значениям: \(f(1)=3\), \(f(2)=5\), \(f(3)=3\). От \(x=1\) к \(x=2\) значение увеличилось, а от \(x=2\) к \(x=3\) уменьшилось. Максимум достигается в вершине при \(x=2\).

Производная и таблица знаков

В более сложных задачах направление изменения определяют с помощью производной. Связь производной и графика функции подробно рассматривается на странице связь производной и графика функции. Если производная положительна на промежутке, функция возрастает; если отрицательна — убывает. Нулевые значения производной отмечают как возможные границы промежутков.

T
Признак монотонности по производной

Если \(f'(x)>0\) на промежутке, то \(f\) возрастает на этом промежутке. Если \(f'(x)<0\), то \(f\) убывает. Если \(f'(x)=0\) на всём промежутке, то функция постоянна на нём.

\[f'(x)>0\Rightarrow f\nearrow;\qquad f'(x)<0\Rightarrow f\searrow;\qquad f'(x)=0\Rightarrow f=C\]

При составлении таблицы знаков сначала выписывают область определения и критические точки, затем определяют знак производной на каждом промежутке. Если знак меняется с «плюса» на «минус», в точке находится максимум; если с «минуса» на «плюс» — минимум. Полное исследование функции включает и другие свойства, поэтому за продолжением можно обратиться к странице исследование функции.

!
Частые ошибки

1. Пишут «функция возрастает в точке». Возрастание относится к промежутку, а не к отдельной точке. 2. Забывают исключить точку, где функция не определена, например \(x=0\) для \(y=\frac1x\). 3. Путают максимум с промежутком возрастания: максимум — это значение или точка, а не направление изменения. 4. Неверно читают знак коэффициента у параболы: при \(a<0\) она сначала возрастает, затем убывает. 5. Неправильно ставят скобки у границ области определения.

Что нужно запомнить

Для ответа достаточно точно назвать промежутки и направление изменения: «возрастает на …, убывает на …, постоянна на …». Если функция задана кусочно, каждый кусок исследуют отдельно, а затем проверяют поведение в точках склейки.

Быстрая проверка

Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · линейная функция
Как ведёт себя функция \(y=5x-1\)?
Главное за минуту

Главное

  • Возрастание означает: при \(x_1<x_2\) выполняется \(f(x_1)<f(x_2)\); убывание — наоборот.
  • Постоянная функция имеет одно и то же значение на всём рассматриваемом промежутке.
  • Для исследования по формуле найдите область определения, особые точки и направление изменения на каждом получившемся промежутке.
  • У линейной функции направление задаёт знак коэффициента \(k\), у параболы — знак \(a\) и положение вершины.
  • По производной: \(f'(x)>0\) — функция возрастает, \(f'(x)<0\) — убывает, \(f'(x)=0\) на промежутке — постоянна.