Обратная функция
Обратная функция — это функция, которая по значению \(y\) восстанавливает единственное исходное значение \(x\). Она существует тогда, когда каждому значению функции соответствует не более одного значения аргумента, то есть исходная функция является взаимно однозначной на выбранной области определения.
Когда обратная функция существует
Главное условие — взаимная однозначность функции. В частности, функция должна быть инъективной: разные значения аргумента не могут давать одно и то же значение функции. На промежутке это обычно проверяют с помощью строгой монотонности: строго возрастающая или строго убывающая функция имеет обратную на этом промежутке. Обратная функция определена не на всей числовой прямой, а на множестве значений исходной функции.
Как найти обратную функцию
- Записать формулу как \(y=f(x)\).
- Выразить \(x\) через \(y\).
- Поменять местами обозначения \(x\) и \(y\).
- Указать область определения обратной функции — это множество значений исходной.
Рассмотрим \(f(x)=2x-3\). Функция строго возрастает на всей числовой прямой, поэтому обратная существует. Выразим \(x\): \(y=2x-3\), значит \(x=\frac{y+3}{2}\). Меняем \(x\) и \(y\): \(f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\). Проверка: \(f^{-1}(f(x))=\frac{2x-3+3}{2}=x\).
Запись \(f^{-1}(x)\) означает обратную функцию, а не дробь \(\frac{1}{f(x)}\). Например, для \(f(x)=2x-3\) обратная функция равна \(\frac{x+3}{2}\), тогда как обратная величина равна \(\frac{1}{2x-3}\).
Имеет ли функция \(f(x)=x^2\) обратную на всей числовой прямой?
Главное
- Обратная функция восстанавливает аргумент по значению функции и существует при взаимной однозначности исходной функции.
- На промежутке достаточно проверить строгую монотонность; для нахождения обратной функции нужно выразить \(x\) через \(y\) и поменять обозначения.