Сюръективная функция
Сюръективная функция — это функция, множество значений которой полностью совпадает с заданным множеством значений, то есть каждый элемент этого множества получается хотя бы при одном аргументе.
Критерий сюръективности
Чтобы проверить сюръективность, берут произвольный элемент \(y\) из заданного множества \(Y\) и решают уравнение \(f(x)=y\). Если для каждого \(y\in Y\) найден хотя бы один допустимый \(x\in X\), функция сюръективна. Если найдётся хотя бы одно значение \(y\), которое функция не принимает, сюръективности нет.
Рассмотрим \(f\colon \mathbb{R}\to [0,+\infty)\), \(f(x)=x^2\). Для любого \(y\ge 0\) уравнение \(x^2=y\) имеет Шешім \(x=\sqrt{y}\) (а при \(y>0\) также \(x=-\sqrt{y}\)). Поэтому \(f(\mathbb{R})=[0,+\infty)\), и функция сюръективна на указанное множество.
Инъективная функция не повторяет значения: разным аргументам соответствуют разные результаты. Сюръективность отвечает на другой вопрос: достигается ли каждое значение из множества \(Y\). Функция может быть сюръективной, но не инъективной, как \(f(x)=x^2\) на \(\mathbb{R}\to[0,+\infty)\). Для обратной функции обычно требуется одновременно инъективность и сюръективность.
Сюръективна ли функция \(f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), заданная формулой \(f(x)=x^3\)?
Главное
- Сюръективность означает равенство \(f(X)=Y\): функция принимает каждое значение из кодомена.
- Проверка сводится к решению уравнения \(f(x)=y\) для произвольного \(y\in Y\).
- Сюръективность и инъективность — разные свойства; для обратной функции часто нужны оба.